¿Cuál es el campo en la teoría de campo?

Solo bromeaba.

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*** EDITAR *** Parece que el OP se refería a un campo en el sentido de la física, en cuyo caso esta respuesta no responde a la pregunta en absoluto. Dejaré la respuesta aquí de todos modos y si quieres una explicación bastante intuitiva sobre qué es un campo algebraico, sigue leyendo.

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Esencialmente, un campo es una estructura algebraica .

Vamos a profundizar un poco más …

La teoría de campos en matemáticas analiza el estudio de campos matemáticos que son estructuras algebraicas como grupos o anillos (de hecho, veremos que un campo es solo un tipo de anillo). Si desea saber qué es un campo, es más fácil comprender primero qué son los grupos y los anillos.

Un grupo (G,.) Es un conjunto G con una operación binaria. definido en él de modo que satisfaga los axiomas grupales que son: cierre, asociatividad, la existencia de una identidad y la existencia de un inverso. Si ab = ba para todos a y b en G, entonces G se llama grupo abeliano.

Un ejemplo de un grupo son los enteros Z bajo la suma. Este es un grupo abeliano infinito. Sin embargo, Z bajo multiplicación no es un grupo porque no existe un inverso. (Piénsalo.)

Un anillo (R, +,.) Es un conjunto R que es un grupo abeliano bajo la operación binaria + (llamémoslo la operación de suma) y con una operación. (llamémosla la operación de multiplicación) definida en ella que es asociativa, es decir, es un Monoide bajo multiplicación, y es distributiva sobre la operación de suma.

Un ejemplo de un anillo son los enteros Z bajo suma y multiplicación. Si eliminamos los números negativos para obtener los números naturales N y consideramos N bajo la suma y la multiplicación, entonces esto no es un anillo porque N bajo la suma no forma un grupo.

Un campo es un anillo cuyos elementos distintos de cero forman un grupo abeliano bajo la operación de multiplicación. Esto significa que tanto la suma como la multiplicación tienen inversas y, por lo tanto, un campo es una estructura algebraica en la que tenemos suma, resta, multiplicación y división.

Un ejemplo de un campo son los números reales R bajo suma y multiplicación. Los enteros Z no forman un campo bajo suma y multiplicación porque, como se mencionó en el ejemplo de los grupos, Z no tiene un inverso multiplicativo.

Así que ahí lo tienes: un campo es solo un anillo muy conmutativo. Un anillo conmutativo es un anillo en el que la operación de multiplicación es conmutativa. En un campo, la multiplicación no solo es conmutativa, sino que la división se define para todos los elementos distintos de cero, por lo que los campos a veces se denominan anillos de división conmutativa .

Como ejemplos, he usado sistemas numéricos porque probablemente son los ejemplos más conocidos y demuestran muy bien el enlace. Además, muestran por qué los campos son útiles en matemáticas, ya que describen estructuras como los números reales, racionales y complejos. Hay muchos otros ejemplos de grupos, anillos y campos. No es necesario que sean de orden infinito y no es necesario que tengan las mismas operaciones binarias.

Creo que un campo en física es lo mismo que un campo en álgebra, o más precisamente, los campos en física son ejemplos de campos algebraicos. Un campo es un conjunto de objetos con dos operadores que asignan un par de objetos a otro objeto en el conjunto. Cada operador tiene un elemento de identidad, y cada elemento tiene un inverso debajo de cada operador. El ejemplo canónico es el conjunto de números reales con operadores que son suma y multiplicación.

Entonces, el conjunto de números reales es un campo, como el valor del voltaje medido entre dos cables. El conjunto de vectores reales tridimensionales es un campo, como la ubicación de un objeto en el espacio. El conjunto de vectores tridimensionales de valor complejo es un campo, como la mecánica cuántica Ψ ( x ). Los campos eléctricos, magnéticos y gravitacionales son campos algebraicos. Un campo de fuerza (como la fuerza neta en función de la posición sobre un pequeño objeto cargado en un entorno con campo eléctrico y gravedad), también es un campo en sentido algebraico.

A la pregunta en los Comentarios, “¿Cuál es el espacio y el tiempo dentro de un campo, a la escala de la partícula subatómica?”, Piense de esta manera: no es que el espacio y el tiempo existan dentro del campo, sino más bien como el campo es una función del espacio y el tiempo. Por lo tanto, el campo eléctrico es E ( x , t), lo que significa que E es un vector de valor real (o complejo), en función de la ubicación espacial y el tiempo. ¿Ayuda eso?

La teoría de campos en física es la conceptualización científica de los campos de fuerza.

Hay 4 fuerzas conocidas en la naturaleza, gravitacional, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil. La teoría de campo describe la dependencia del rango de estas fuerzas y los mecanismos subyacentes de cómo ocurren.

Estoy tentado a decir ‘Física, en oposición a Medicina o Derecho’, pero para ser más útil que voltear bromas de carrera, un Campo en este sentido en nada más que una función definida sobre variables espaciales. Puede ser eléctrico (voltaje o potencial), magnético, gravitacional, etc. Por analogía, piense en la elevación de la tierra, que podría describirse mediante una función en las coordenadas de ubicación. Una función ciertamente abultada, pero sigue siendo una especie de “campo”.