Frecuencia espacial. Así es cómo:
En la mecánica clásica, el comportamiento de un sistema está codificado en su lenguaje lagrangiano, del que puede derivar ecuaciones de movimiento. Si este lagrangiano no depende directamente de la coordenada espacial y solo de las posiciones relativas de las partes del sistema, entonces si mueve todo el sistema en alguna dirección y ejecuta un experimento allí, actuará igual que en el lugar anterior, entonces tiene una cierta simetría . Más técnicamente, debe haber alguna transformación suave de coordenadas que no cambie la acción total (integral de Lagrangian con el tiempo). Si la traducción en alguna dirección es tal acción que preserva la transformación, entonces, según el teorema de Noether, hay una cantidad conservada, un número que permanece igual para todo el sistema a medida que evoluciona en el tiempo. Tal cantidad conservada, para el caso de la traducción en el espacio, se llama impulso. En el caso más simple de la mecánica newtoniana para una partícula de masa m, parece ser mv donde v es la velocidad. En caso relativista no es mv, hay algún coeficiente adicional.
Ahora, en la teoría cuántica, trabajamos con funciones de onda o campos cuánticos. En lugar de tener números para posición, momento, energía, etc., tenemos operadores que actúan sobre funciones de onda o vectores de estado cuántico en general. Tomamos la idea de la traducción en el espacio en alguna dirección y encontramos el generador de dicha transformación, y obtenemos el operador de derivada espacial en esa dirección. Al igual que en geometría diferencial, un vector a lo largo del eje x es d / dx, la derivada a lo largo de esa dirección. De esta manera, llegamos al operador derivado espacial como operador de impulso (hasta una constante). Un estado con cierto momento debe ser un estado propio de ese operador, por lo tanto, cuando trabajamos en términos de una función de onda, debe ser alguna función de onda cuya derivada en una dirección dada sea igual a sí misma multiplicada por alguna constante, el valor propio. La onda plana simple es tal solución, y para una onda con frecuencia w cuando tomas su derivada, obtienes la misma función multiplicada por la frecuencia, por lo que es el valor propio. En una medición hipotética del momento en una dirección dada, un número concreto, el valor del momento que obtienes, corresponde a la frecuencia de la función de onda en esa dirección.
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