¿Qué significa cuando un hamiltoniano se porta mal?

“Mal comportamiento” no es realmente un término científico. Dicho esto, los físicos (y matemáticos, y otros que usan las matemáticas) a menudo llaman a los objetos teóricos “mal comportamiento” si no exhiben ciertas propiedades que necesitarían para ser más fáciles de manejar en los cálculos o para representar la naturaleza de manera más consistente / correcta.

Por ejemplo, el hamiltoniano [matemáticas] H = \ frac {p ^ 2} {2m} + \ frac {1} {2} kx ^ 2 [/ matemáticas] se comporta muy bien. Es el oscilador armónico, por supuesto. Todo es continuo, acotado, bien solucionable. Ahora considere [math] H = \ frac {p ^ 2} {2m} – \ frac {a} {| x |} [/ math], el potencial coulomb unidimensional. Este hamiltoniano se podría llamar mal comportamiento, ya que tiene una singularidad no integrable en el origen. Como operador en mecánica cuántica, este hamiltoniano sería no hermitiano, lo que técnicamente lo invalida como hamiltoniano. Por supuesto, aún puede realizar cálculos, encontrar estados propios y todo, pero siempre tendrá que eludir el hecho de que el hamiltoniano es matemáticamente “mal portado”.

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