No debes pensar en el lagrangiano como siempre cinético menos energía potencial. Lo que tenemos aquí es un “potencial generalizado”, es decir, [matemática] L = T – U [/ matemática] donde [matemática] U [/ matemática] depende de la velocidad. Un potencial generalizado no debe interpretarse como la verdadera energía potencial de la partícula.
De hecho, la energía total de un sistema interactivo de cargas puntuales y corrientes puede escribirse en dos formas equivalentes:
\ begin {align}
E & = T + \ frac {\ epsilon_0} {2} \ int E ^ 2 \, \ mathrm {d} ^ 3 x + \ frac {1} {2 \ mu_0} \ int B ^ 2 \, \ mathrm { d} ^ 3 x \\
& = T + \ frac {1} {2} \ sum q \ phi + \ frac {1} {2} \ sum qv \ cdot A
\ end {align}
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El primero atribuye energía potencial a la energía almacenada en los campos E y B. El último atribuye la energía potencial eléctrica a la interacción de una partícula con el potencial escalar (eléctrico) producido por otros campos y la energía potencial magnética a la interacción de una partícula con el potencial vectorial (magnético) producido por otros campos. (El factor de la mitad es necesario para evitar el doble conteo: no debemos contar tanto una partícula que actúa sobre otra como la última que actúa sobre la primera).
Al realizar la transformación Legendre del Lagrangiano para la partícula sola al Lagrangiano para el campo, el término [matemático] qv \ cdot A [/ matemático] desaparece (dando una energía potencial que es simplemente cinética más potencial eléctrico) Pero se compensa con la aparición de un [matemáticas] \ frac {B ^ 2} {\ mu_0} [/ matemáticas] plazo a partir de la transformación de Legendre del campo de Lagrange, que nos da el término de energía potencial magnética con el signo positivo esperado.
