La ecuación que rige la vibración transversal de una viga es una coordenada espacial de wrt diferencial de cuarto orden y un tiempo wrt diferencial de segundo orden. Si usamos una forma separable variable para resolver esto, el desplazamiento transversal se puede escribir como,
[matemáticas] Y = (a cosh (Lx) + b sinh (Lx) + c cos (Lx) + d sin (Lx)) * (p sin (wt) + q cos (wt)), [/ math]
[matemáticas] x = distancia desde un extremo, t = tiempo, w = L ^ 2 (sqrt (EI / rau * A * L ^ 4)) (ref.1),
donde los símbolos tienen el significado habitual. [/matemáticas]
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L es el parámetro que causa las formas del modo y w es la frecuencia natural. Ahora para un haz fijo fijo tenemos las condiciones de contorno como la desviación y la pendiente en ambos extremos para ser cero,
Por lo tanto,
Y (0) = Y (L) = Y ‘(0) = Y’ (L) = 0;
como p sin (wt) + q cos (wt) es común en todos estos, esto formará una ecuación característica para las formas de modo en la forma,
A * C = 0;
A = función (L);
C = [abcd]
Para una solución no trivial para la ecuación anterior (es decir, para que los coeficientes no sean ceros), el determinante de A debe ser cero. Esto dará una ecuación en L, que cuando se resuelve para dar los valores de L. Dado que la frecuencia natural, w está relacionada con L (ref.1), las frecuencias naturales se pueden calcular a partir de esto. Como es un sistema continuo, existen múltiples frecuencias para este sistema.
* Perdón por la cruda forma de escribir. Aún no sé cómo escribir ecuaciones en quora. 🙁
