¿Necesitamos una cuarta dimensión espacial para curvar el espacio-tiempo?

Rara vez curva una hoja de papel en el sentido de que el espacio-tiempo es curvo. Cuando hablamos de que el espacio-tiempo es curvo, no nos referimos a la curvatura extrínseca (como muestra su ejemplo); más bien, nos referimos a la curvatura intrínseca .

El problema de “aplanar una cáscara de naranja” es un ejemplo de esto: puede aplanar un tubo de papel, porque la única diferencia entre un cilindro y un plano es la curvatura extrínseca, no la curvatura intrínseca, pero no puede aplanar una naranja pelar, porque hay una diferencia en la curvatura intrínseca de una esfera y el plano. Del mismo modo, no puede tomar una hoja de papel y doblarla directamente sobre incluso un segmento de una naranja sin arrugarla, nuevamente, debido a una diferencia de curvatura intrínseca.

Tenga en cuenta lo siguiente sobre la tierra (también cerca de una esfera). Puede comenzar en el polo norte, caminar hacia el ecuador, girar 90 grados, caminar cierta distancia, girar 90 grados nuevamente y caminar de regreso al polo norte. Ahora: en ningún momento hiciste una curva (todas esas caminatas son líneas rectas), así que eso debería ser un triángulo, ¿sí? Sin embargo, hiciste dos giros de 90 grados, ¡así que tu triángulo tiene dos ángulos de 90 grados! Este es un ejemplo de cómo puede verificar la curvatura intrínseca.

Esta “curvatura intrínseca” es la razón por la que no puede hacer los aplanamientos / rizos mencionados anteriormente. Suponga que dibuja ese mismo triángulo (con dos ángulos de 90 grados) en una naranja e intenta aplanar la naranja. Si pudiera, entonces (dado que los ángulos son locales, por lo tanto se conservan bajo aplanamiento), y podría hacerlo sin estirar la cáscara en la dirección de la cáscara (es decir, la trata como un trozo de papel en lugar de goma, puede doblarla). pero no lo estires) ¡podrías hacer un triángulo así en el avión! Lo que por supuesto es imposible.

Ahora, otro ejemplo diferente, para hacer un punto diferente. Considere una tabla Pac-man. Plano, ¿verdad? ¿Incluso si está extrañamente conectado? Ahora, afirmo que esta placa es equivalente a un cilindro (si se envuelve en un sentido) o un toro (si se envuelve en ambos sentidos). Imagine que lo dibujó en un trozo de papel y luego lo curvó en un cilindro (o rosquilla): ¡podría hacer el tablero Pac-man en una hoja de papel!

La curvatura del espacio-tiempo es algo así como Pac-Man. Claro, podríamos decir que Pac-Man vive en un cilindro incrustado en una tercera dimensión, o podríamos decir que Pac-Man vive en su pequeño avión en bucle. Generalmente preferimos decir lo último, por supuesto; no hay razón para agregar toda esa tercera dimensión a la que no puede acceder.

Ahora, tome lo que hicimos para Pac-Man y haga lo mismo a la superficie de la Tierra. Puedes imaginar un montón de pequeñas pepitas moviéndose en la superficie de la Tierra, ¿verdad? Bueno, al igual que Pac-Man, podemos “quitar” la dimensión de fuera / dentro de la Tierra y simplemente trabajar en la superficie de la esfera: no necesita esa tercera dimensión para comprender lo que sucede en la esfera .

Ahora, para volver a su pregunta, es lo mismo para nosotros con la curvatura espacio-temporal: no necesitamos agregar esta cuarta dimensión espacial adicional si podemos definir esta “curvatura” como curvatura intrínseca que no necesitamos dejar espacio a medida Dado que, de hecho, podemos hacer esto, no necesitamos incluir la cuarta dimensión espacial adicional, y dado que no necesitamos hacerlo, no lo hacemos, porque, como Pac-Man, es más agradable de esa manera, y no hay razón para agregar dimensiones adicionales cuando no es necesario.