Si descuidamos la redundancia del medidor (o ‘simetría del medidor’) y consideramos un fotón no físico con 4 ímpetu fijo (en la cubierta) [matemática] k = (k_0, k_1, k_2, k_3) [/ matemática] entonces su espacio de estados [math] H _ {\ vec {k}} [/ math] es un espacio vectorial de cuatro dimensiones que abarca los estados [math] | \ vec {k}, \ epsilon ^ i> [/ math], donde [math ] \ epsilon ^ i, \; i = 1,., 4 [/ math] forman una base de [math] R ^ 4 [/ math].
La suma directa [matemática] H = \ displaystyle {\ bigoplus _ {\ vec {k}}} H _ {\ vec {k}} [/ matemática] de los espacios [matemática] H _ {\ vec {k}} [/ matemática ] no es un espacio de Hilbert y el producto interno de los estados se da como
[matemáticas] (| \ vec {k}, \ epsilon>, | \ vec {k ‘}, \ epsilon’>) = (\ epsilon. \ epsilon ‘) \ frac {1} {2 | \ vec {k} |} \ delta (\ vec {k} – \ vec {k ‘}) [/ math]
.
donde el producto escalar [math] \ epsilon. \ epsilon ‘[/ math] de dos 4 vectores es wrt la métrica de Minkowski [math] \ eta _ {\ mu \ nu} = diag (-1,1,1,1) [/matemáticas].
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Cuando se tienen en cuenta las restricciones debidas a la redundancia del medidor, el espacio físico de Hilbert está dado por un conjunto de esos estados [math] | \ vec {k}, \ epsilon> [/ math] para el cual
i) [matemáticas] k. \ epsilon = 0 [/ matemáticas] y
ii) el cuadrado de la norma es positivo.
La primera condición elimina el modo de polarización longitudinal. Este modo se muestra como una flecha roja en la figura a continuación y corresponde al estado propio del giro con m = 0. La segunda condición elimina el modo cuyo vector de polarización es un vector nulo (flecha roja punteada) y, por lo tanto, solo nos quedan modos de polarización física (las flechas verdes).
Entonces, aunque el fotón es una partícula de rotación, el modo m = 0 no es físico (es decir, no se puede detectar en experimentos) debido a la simetría del indicador.
