¿Intuitivo? Bueno … la teoría es inherentemente matemática, por lo que la explicación requiere un poco de matemática. Espero que no sea demasiado desagradable.
En realidad, la teoría de Kaluza-Klein realmente tiene dos elementos clave: agregar una dimensión adicional y la compactación de esa dimensión adicional.
El punto de partida es la relatividad general de Einstein, en la que todos los fenómenos gravitacionales se explican por los cambios en la geometría del espacio-tiempo inducidos por la presencia de la materia. El espacio-tiempo que observamos es de cuatro dimensiones.
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La tarea (esto fue a fines de la década de 1910, principios de la década de 1920): unificar todas las fuerzas conocidas en una sola teoría. Todas las fuerzas conocidas, en ese momento, significaban gravedad y electromagnetismo (clásico), nada más. Entonces … ¿sería posible incorporar el electromagnetismo en un elegante marco geométrico?
Lo que se sabía en ese momento es que el eletromagnetismo está representado por un campo vectorial de 4 dimensiones; la gravedad está representada por un campo tensor simétrico.
Por lo tanto, los componentes del vector electromagnético de 4, generalmente denotado por la letra A, se pueden colocar en una fila como esta:
[matemáticas]
(A_0, A_1, A_2, A_3),
[/matemáticas]
mientras que los componentes del campo gravitacional (es decir, la métrica) podrían escribirse de esta manera:
[matemáticas] \ begin {pmatrix} g_ {00} & g_ {01} & g_ {02} & g_ {03} \\ g_ {10} & g_ {11} & g_ {12} & g_ {13} \\ g_ {20} & g_ { 21} & g_ {22} & g_ {23} \\ g_ {30} & g_ {31} & g_ {32} & g_ {33} \ end {pmatrix}.
[/matemáticas]
Entonces … ¿qué pasa si tratamos de combinar los dos? Bueno … podemos escribir una matriz simétrica de 5 dimensiones que se ve así:
[matemáticas] \ begin {pmatrix} g_ {00} & g_ {01} & g_ {02} & g_ {03} & A_0 \\ g_ {10} & g_ {11} & g_ {12} & g_ {13} y A_1 \\ g_ {20} & g_ {21} & g_ {22} & g_ {23} & A_2 \\ g_ {30} & g_ {31} & g_ {32} & g_ {33} & A_3 \\ A_0 & A_1 & A_2 & A_3 &? \ end {pmatrix}.
[/matemáticas]
¿Tendría sentido una matriz de 5 dimensiones como la geometría del espacio-tiempo de 5 dimensiones? La única forma de saberlo es averiguar cómo se movería una partícula de prueba neutra en el espacio-tiempo curvo que corresponde a esta matriz como su métrica. Y he aquí, la ecuación de movimiento de la partícula será formalmente idéntica a la de una partícula cargada en el espacio-tiempo de 4 dimensiones. No solo eso, sino que el bit que marqué con un signo de interrogación en la esquina inferior derecha estará relacionado con el cargo. ¡Entonces podría funcionar! Es posible escribir una teoría de 5 dimensiones completamente geométrica, a saber, la teoría de Einstein en 5 dimensiones, y naturalmente se “divide” en una parte que corresponde a la gravedad de 4 dimensiones, y una parte que corresponde al electromagnetismo de 4 dimensiones.
Entonces … si esta teoría es cierta y el universo es realmente de cinco dimensiones, ¿por qué no lo experimentamos como tal? Aquí es donde entra en juego el negocio de la compactación. La mejor explicación intuitiva para esto es la analogía de la manguera de jardín. Si observa de cerca una manguera de jardín, su superficie es la de un cilindro, por lo que es decididamente bidimensional. Pero si está lo suficientemente lejos, la manguera de jardín simplemente aparecerá como una línea delgada sin extensión apreciable en ninguna dirección que no sea a lo largo de su longitud; entonces, para todos los intentos y prácticas, aparecerá como un objeto unidimensional. Esto es lo que hace la compactación: “oculta” la quinta dimensión haciéndola realmente pequeña (aunque todavía puede aparecer en escalas microscópicas). Otra ventaja de este tipo de compactación es que puede proporcionar una explicación natural de por qué las cargas eléctricas vienen en unidades bien definidas.
Todo esto, por supuesto, tiene una física de casi un siglo de antigüedad, desde hace mucho tiempo reemplazado por el descubrimiento de la teoría del campo cuántico, de las interacciones nucleares débiles y fuertes, y la comprensión de que la unificación de los campos clásicos es el menor de nuestros problemas en la búsqueda de un “Gran teoría unificada”. Pero el bit de compactación, en particular, sigue vivo, por ejemplo, ya que la teoría de cuerdas trata con su número vergonzoso (por ejemplo, 10) de dimensiones al compactar las no deseadas.
