¿Cómo demostró Niels Bohr que los electrones giran en una órbita sin perder energía?

Puedes ayudarte mirando Wikipedia.

Pero el problema es que no entendemos el complejo lenguaje científico en el que escriben. Entonces …

Puede saber que el núcleo de un átomo está cargado positivamente y los electrones son partículas cargadas negativamente. Así, la atracción entre las partículas crea una fuerza electrostática entre ellas que mantiene los electrones suspendidos.

Es lo mismo que los sistemas solares, solo reemplace la fuerza gravitacional con fuerza electrostática.

Fácil, ¿no es así? No, no es. Para un estudio profundo, puede admirar: Bohr’s Atom

O: ¿Cómo se mantienen los electrones en movimiento alrededor del núcleo?

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Neil Bohr no probó que el electrón gira alrededor del núcleo en órbita circular, sino que simplemente lo postuló. Con base en sus postulados, obtuvo todas las ecuaciones básicas y explicó el espectro de hidrógeno observado con éxito. Como la teoría de Bohr tuvo mucho éxito al explicar el hidrógeno como los átomos, se asumió que sus postulados eran correctos.

Sin embargo, la teoría de Bohr era de naturaleza semiclásica, pero su postulado de órbita estacionaria es válido hasta la fecha. Incluso la mecánica cuántica no dice nada por qué los electrones no pierden energía en los orbitales.

No había necesidad de demostrarlo … ya estaba claro que un electrón en un estado dado tiene energía constante debido a la estabilidad del átomo … hoy el electrón en un átomo se visualiza como una onda estacionaria, su energía permanece constante, es decir, no cambiar su estado a menos que sea molestado

No lo hizo, razón por la cual ese modelo finalmente fue reemplazado por otros mejores. Hoy nadie piensa en los electrones como pequeñas bolas cargadas que orbitan alrededor del núcleo.