Una forma de obtener la masa del sol es aplicar un poco de física de primer año. Newton descubrió que la fuerza gravitacional entre dos objetos a una distancia r es:
[matemáticas] F_G = \ frac {GMm} {r ^ 2} [/ matemáticas]
donde M y m son las masas de los dos objetos.
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Newton también mostró que para un objeto de masa m en movimiento circular a velocidad v , la fuerza neta se puede expresar como:
[matemáticas] \ frac {mv ^ 2} {r} [/ matemáticas]
Si suponemos que la Tierra gira alrededor del Sol en una órbita circular (esta es una muy buena aproximación), entonces podemos equiparar estas dos expresiones:
[matemáticas] \ frac {GMm} {r ^ 2} = \ frac {mv ^ 2} {r} [/ matemáticas]
Esto se resuelve trivialmente para que M encuentre:
[matemáticas] M = \ frac {v ^ 2r} {G} [/ matemáticas]
Otra simplificación: para un objeto en una órbita circular, el período de la órbita es simplemente la circunferencia del círculo que traza dividido por la velocidad. En otras palabras:
[matemáticas] P = \ frac {2 \ pi r} {v} [/ matemáticas]
Resolviendo v arriba y conectándose a la expresión para M :
[matemáticas] M = \ frac {4 \ pi ^ 2 r ^ 3} {P ^ 2 G ^ 2} ^ * [/ matemáticas]
¡Ahora tenemos una expresión realmente ordenada para la masa del sol! El período de la órbita es fácil: solo 1 año. La distancia es bastante complicada, pero se puede medir, por ejemplo, utilizando el tránsito de Venus. De todos modos, este número termina siendo aproximadamente [matemática] 10 ^ 11 [/ matemática] metros.
Enchufando, encontramos:
[matemáticas] M = 2 \ cdot 10 ^ {30} kg [/ matemáticas]
* lo que acabo de derivar se conoce más comúnmente como la tercera ley de Kepler. Kepler realmente descubrió esta ley empíricamente . Newton apareció un poco más tarde y, a través de su estructura de gravedad, podemos derivar las tres leyes de Kepler con bastante facilidad.
