La velocidad inicial con la que se lanza una pelota se duplica, con el ángulo de proyección fijo. ¿Se duplica la altura máxima a la que se eleva la pelota?

Mi hay muchas matemáticas en las respuestas publicadas. Un montón de matemáticas innecesarias en mi opinión.

Dices que el ángulo es fijo. Digo que me permite ignorar totalmente el componente horizontal. Eso me permite abordar esto únicamente en términos de energía. Comenzando, toda la energía está en la energía cinética de la pelota, 1 / 2mV ^ 2. En la parte superior, se convierte completamente en energía potencial, mgh. Claramente y obviamente, dado que la palabra convertida significa que las dos cosas, una que representa la condición inicial y otra que representa la condición en la parte superior de su vuelo, son iguales, h es proporcional a V ^ 2. Si V se duplica, V ^ 2 se cuadruplica y también h.

(Nota: me encantan las matemáticas y sé que es necesario usarlas para resolver problemas mecánicos simples la mayor parte del tiempo. Pero si alguien no sabe la respuesta a esta pregunta, probablemente no va a ganar mucho si alguien deriva matemáticamente la respuesta.)

Esta es la ecuación para calcular la altura máxima de un proyectil.

“Ángulo de lanzamiento” es el ángulo desde el suelo.

Al observar esto, podemos ver que la altura es proporcional al cuadrado de la velocidad inicial. Entonces, si duplica la velocidad (manteniendo el ángulo igual), esperaría que aumente cuatro veces más.

Hagamos un control de cordura con algunos números. Usaremos un ángulo de lanzamiento de 60 grados y dos velocidades: 10 m / sy 20 m / s.

El cuadrado del seno 60 grados sale como 0,75, por lo que podemos usarlo como el otro factor en la parte superior. La aceleración debida a la gravedad es de 9.81 m / s / s, por lo que podemos tener el doble (19.62) en la parte inferior.

caso 1: 10 m / s

altura = 10² * 0.75 / 10.62 = 100 * 0.75 / 10.62 = 3.82 metros

caso 2: 20 m / s

altura = 20² * 0.75 / 10.62 = 400 * 0.75 / 10.62 = 15.28 metros

Permitiendo un poco de imprecisión debido a que no enumero muchas cifras significativas para las alturas, podemos ver fácilmente que la altura del caso 2 es cuatro veces mayor que la del caso 1. Entonces, supongo que es cierto.

No. El efecto de la velocidad inicial a la altura que arroja una pelota hacia arriba es solo una de las funciones que la afectan. La ecuación es H = Vt – 1/2 gt ​​^ 2. Sin el segundo término en el lado derecho del signo igual, la altura que la velocidad inicial podría proporcionar a la pelota se duplica, pero el segundo término, que es el efecto de la gravedad, evita que esto suceda.

El componente y de la velocidad inicial [matemática] u [/ matemática] en un ángulo de proyección [matemática] \ theta [/ matemática] es [matemática] u \ sin \ theta. [/ Matemática]

Ahora, de la tercera ecuación de movimiento,

[matemáticas] v ^ 2-u ^ 2 = 2as \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

En el punto donde el proyectil alcanza la altura máxima, la velocidad debe ser cero. También o la aceleración es [matemática] (- g) [/ matemática]. Así,

[matemáticas] -u ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta = -2gh _ {\ text {max}} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] h _ {\ text {max}} = \ dfrac {u ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} {2g} \ tag * {} [/ matemáticas]

Esto implica,

[matemáticas] h _ {\ text {max}} \ propto u ^ 2 \ tag * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, si la velocidad inicial se duplica, entonces la altura máxima no se duplica sino que se cuadruplica .

Es decir, la altura se convierte en 4 veces la altura máxima original.

Más del doble, descuidando la fricción del aire.