El tensor canónico de estrés-energía derivado de la aplicación del teorema de Noether,
[matemática] \ Theta ^ {\ mu \ nu} = – \ matemática {L} \ eta ^ {\ mu \ nu} + \ sum \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ parcial \ phi _ {, \ nu}} \ parcial ^ \ mu \ phi [/ math]
en general no es simétrico (Tenga en cuenta que la suma se toma sobre los componentes de todos los campos de la teoría; por ejemplo, para el campo electromagnético, la suma se tomará sobre los cuatro componentes del potencial de cuatro).
Se necesita un tensor de energía de estrés simétrico como el término fuente para las ecuaciones de campo de Einstein.
Si el tensor de energía de estrés no es simétrico, entonces el tensor de momento angular orbital
[matemáticas] \ matemáticas {M} ^ {\ mu \ nu \ lambda} = x ^ \ mu \ Theta ^ {\ nu \ lambda} – x ^ \ nu \ Theta ^ {\ mu \ lambda} [/ matemáticas]
no se puede conservar (como puede ver al tomar la divergencia de ambos lados). Por supuesto, sabemos que el momento angular orbital en general no se conserva; se conserva el momento angular total, que incorpora tanto el momento angular orbital como el momento angular de rotación. Entonces, esto sugiere que [math] \ Theta ^ {\ mu \ nu} [/ math] es de alguna manera “defectuoso” porque le falta una pieza correspondiente al momento angular de giro. Queremos agregar una pieza para dar
[matemáticas] T ^ {\ mu \ nu} = \ Theta ^ {\ mu \ nu} + \ Delta ^ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]
así que eso
[matemáticas] \ matemáticas {J} ^ {\ mu \ nu \ lambda} = x ^ \ mu T ^ {\ nu \ lambda} – x ^ \ nu T ^ {\ mu \ lambda} [/ matemáticas]
será el momento angular total, y conservado. Esto implica la simetría del tensor de energía de estrés “mejorado” [matemáticas] T ^ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]. Dado que la gravitación se acopla a todas las formas de energía e impulso por igual, y [math] T ^ {\ mu \ nu} [/ math] ahora contiene información sobre el momento angular del espín, ahora es un término fuente apropiado para la relatividad general.
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Se deduce que el término de corrección [matemática] \ Delta ^ {\ mu \ nu} [/ matemática] debe incorporar la información de giro; de hecho
[matemáticas] \ Delta ^ {\ mu \ nu} – \ Delta ^ {\ nu \ mu} = – \ mathcal {S} ^ {\ mu \ nu \ lambda} {} _ {, \ lambda} [/ math]
donde [math] \ mathcal {S} [/ math] es la corriente de giro.
Se puede demostrar que si tomamos
[matemáticas] \ Delta ^ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {2} \ partial_ \ lambda (S ^ {\ mu \ lambda \ nu} + S ^ {\ nu \ lambda \ mu} – S ^ {\ mu \ nu \ lambda}) [/ math]
luego, al agregarlo al tensor de energía de estrés canónico, se obtendrá un nuevo tensor con las propiedades deseadas y, además, los cambios en las densidades, [math] \ Delta ^ {\ mu 0} [/ math], se pueden escribir como 3 -Divergencias, lo que garantiza que la energía total y el impulso no se modifiquen.
Este tensor [matemático] T ^ {\ mu \ nu} = \ Theta ^ {\ mu \ nu} + \ Delta ^ {\ mu \ nu} [/ matemático] es el tensor de energía-estrés Belinfante – Rosenfeld, y es por ejemplo lo que llamamos el tensor de energía de estrés para el electromagnetismo,
[matemáticas] T ^ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {\ mu_0} F ^ {\ mu \ lambda} F ^ \ nu {} _ \ lambda + \ frac {1} {4 \ mu_0} \ eta ^ {\ mu \ nu} F ^ {\ sigma \ tau} F _ {\ sigma \ tau} [/ math]
