¿Por qué disminuye el tiempo necesario para balancearse de un lado a otro, si te paras en lugar de sentarte en un columpio?

Los columpios de juegos son similares a los péndulos simples.

Entonces, consideremos este instante cuando el niño que está sentado en el columpio forma un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre el niño han sido marcadas en la imagen.

Podemos resolver el peso del niño [matemática] (mg) [/ matemática] en los 2 componentes: [matemática] mg \ sin \ theta [/ matemática] y [matemática] mg \ cos \ theta [/ matemática]

Ahora, si observa de cerca la imagen, se dará cuenta de que el componente [math] mg \ cos \ theta [/ math] ha sido equilibrado por la fuerza de la tensión [math] (T) [/ math]

Y no hay fuerza que esté equilibrando el componente [math] mg \ sin \ theta [/ math]. Eso significa que la fuerza neta desequilibrada sobre el niño es [matemáticas] F = mg \ sin \ theta [/ matemáticas]

Ahora, supondré que [math] \ theta [/ math] es un ángulo muy pequeño. Eso significa [matemáticas] \ sin \ theta = \ theta [/ matemáticas] (aproximación de ángulo pequeño)

[matemáticas] \ theta = \ sin \ theta = \ dfrac {x} {l} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica F = mg \ left (\ dfrac {-x} {l} \ right) [/ math]

Nota: Ese signo -ve aparece porque la Fuerza siempre está tratando de minimizar el desplazamiento actuando de tal manera que siempre apunte hacia la línea vertical normal.

Ahora que conocemos la fuerza, podemos encontrar fácilmente la aceleración [matemáticas] (a) [/ matemáticas]

[matemáticas] a = \ dfrac {F} {m} = \ dfrac {g (-x)} {l} [/ matemáticas]

[matemáticas] a = \ dfrac {g (-x)} {l} \ tag {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a \ ltimes (-x) [/ matemáticas]

Lo que acabo de mostrarle es que el niño ejecuta Simple Harmonic Motion (SHM) para valores pequeños de [math] \ theta [/ math]

Ahora, comparemos la Ecuación 1 con la ecuación estándar de SHM que es …

[matemáticas] a = – \ omega ^ 2x [/ matemáticas]

Al comparar, podemos ver claramente que

[matemáticas] \ omega ^ 2 = \ dfrac {g} {l} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ omega = \ sqrt {\ dfrac {g} {l}} [/ matemáticas]

Ahora que conocemos el valor de [math] \ omega [/ math], podemos encontrar fácilmente el Período de tiempo del niño usando esta fórmula infame …

[matemáticas] T = \ dfrac {2 \ pi} {\ omega} [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {T = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {l} {g}}} [/ math]

Ahora, analicemos la relación entre el Período de tiempo [matemática] (T) [/ matemática] y la Longitud de la cadena [matemática] (l) [/ matemática]

[matemáticas] T \ ltimes \ sqrt {l} [/ matemáticas]

El Período de tiempo [matemática] (T) [/ matemática] es directamente proporcional a [matemática] \ sqrt {l} [/ matemática]

Ahora viene la parte principal de este juego …

[matemática] l [/ matemática] es la longitud efectiva. Es la distancia del Centro de Gravedad del cuerpo desde el punto donde está conectado al techo. Para encontrar el Período de Tiempo, tomé una masa puntual. Pero cuando consideramos el caso de un niño parado en un columpio, la longitud efectiva disminuirá porque ahora, ¡el Centro de Gravedad está elevado!

Entonces, a medida que disminuye la duración efectiva, ¡ el período de tiempo también disminuirá!

Cuando te paras en el columpio, el centro de masa del columpio cambia. Anteriormente, cuando una persona estaba sentada en él, el centro de masa estaba lejos del punto de unión del cable / cadena de alambre a la estructura del eje. Este sistema se asemeja al de una configuración simple de péndulo con la persona como bob (centro de masa) y cadena como longitud.

Esta longitud se llama la longitud del péndulo. Como se discutió anteriormente, la longitud del péndulo disminuye cuando la persona está de pie en el columpio en lugar de sentarse (el centro de masa se mueve hacia arriba mientras está de pie). Según la relación de tiempo de un péndulo simple, el tiempo de oscilación es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo.

Por lo tanto, a medida que la longitud disminuye, el tiempo de oscilación también disminuye.

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