Los columpios de juegos son similares a los péndulos simples.
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Entonces, consideremos este instante cuando el niño que está sentado en el columpio forma un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre el niño han sido marcadas en la imagen.
Podemos resolver el peso del niño [matemática] (mg) [/ matemática] en los 2 componentes: [matemática] mg \ sin \ theta [/ matemática] y [matemática] mg \ cos \ theta [/ matemática]
Ahora, si observa de cerca la imagen, se dará cuenta de que el componente [math] mg \ cos \ theta [/ math] ha sido equilibrado por la fuerza de la tensión [math] (T) [/ math]
Y no hay fuerza que esté equilibrando el componente [math] mg \ sin \ theta [/ math]. Eso significa que la fuerza neta desequilibrada sobre el niño es [matemáticas] F = mg \ sin \ theta [/ matemáticas]
Ahora, supondré que [math] \ theta [/ math] es un ángulo muy pequeño. Eso significa [matemáticas] \ sin \ theta = \ theta [/ matemáticas] (aproximación de ángulo pequeño)
[matemáticas] \ theta = \ sin \ theta = \ dfrac {x} {l} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica F = mg \ left (\ dfrac {-x} {l} \ right) [/ math]
Nota: Ese signo -ve aparece porque la Fuerza siempre está tratando de minimizar el desplazamiento actuando de tal manera que siempre apunte hacia la línea vertical normal.
Ahora que conocemos la fuerza, podemos encontrar fácilmente la aceleración [matemáticas] (a) [/ matemáticas]
[matemáticas] a = \ dfrac {F} {m} = \ dfrac {g (-x)} {l} [/ matemáticas]
[matemáticas] a = \ dfrac {g (-x)} {l} \ tag {1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica a \ ltimes (-x) [/ matemáticas]
Lo que acabo de mostrarle es que el niño ejecuta Simple Harmonic Motion (SHM) para valores pequeños de [math] \ theta [/ math]
Ahora, comparemos la Ecuación 1 con la ecuación estándar de SHM que es …
[matemáticas] a = – \ omega ^ 2x [/ matemáticas]
Al comparar, podemos ver claramente que
[matemáticas] \ omega ^ 2 = \ dfrac {g} {l} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ omega = \ sqrt {\ dfrac {g} {l}} [/ matemáticas]
Ahora que conocemos el valor de [math] \ omega [/ math], podemos encontrar fácilmente el Período de tiempo del niño usando esta fórmula infame …
[matemáticas] T = \ dfrac {2 \ pi} {\ omega} [/ matemáticas]
[math] \ implica \ boxed {T = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {l} {g}}} [/ math]
Ahora, analicemos la relación entre el Período de tiempo [matemática] (T) [/ matemática] y la Longitud de la cadena [matemática] (l) [/ matemática]
[matemáticas] T \ ltimes \ sqrt {l} [/ matemáticas]
El Período de tiempo [matemática] (T) [/ matemática] es directamente proporcional a [matemática] \ sqrt {l} [/ matemática]
Ahora viene la parte principal de este juego …
[matemática] l [/ matemática] es la longitud efectiva. Es la distancia del Centro de Gravedad del cuerpo desde el punto donde está conectado al techo. Para encontrar el Período de Tiempo, tomé una masa puntual. Pero cuando consideramos el caso de un niño parado en un columpio, la longitud efectiva disminuirá porque ahora, ¡el Centro de Gravedad está elevado!
Entonces, a medida que disminuye la duración efectiva, ¡ el período de tiempo también disminuirá!