Por la curva de Planck, supongo que te refieres al espectro de radiación del cuerpo negro. Entonces la conexión es en dos partes. Primero está la conexión de los cuerpos negros con lo que es realmente importante, que es lo que significa que algo de luz tenga temperatura. Si coloca algo de luz en una caja que tiene temperatura T, luego de cierto número de rebotes, la luz entrará en equilibrio térmico con la caja. Eso significa que la luz considerada como un sistema por derecho propio tiene una temperatura, y es la misma temperatura que la caja. Entonces surge la pregunta: ¿qué pasa si alguna característica especial (espectro, etc.) tiene que tener la luz para que tenga una temperatura bien definida? Y resulta que hay una respuesta, a la que llegaremos, y se ha llamado espectro de radiación del cuerpo negro, pero es menos una propiedad de los cuerpos negros y más una propiedad de la luz en abstracto. La importancia de un cuerpo idealmente negro es que lleva la luz al equilibrio térmico lo más rápido posible. Una caja con paredes negras absorbe cualquier luz existente y vuelve a emitir luz con temperatura T en un rebote, pero puedes colocar espejos en las paredes y obtener el mismo espectro, justo después de muchos más rebotes.
Entonces, queremos calcular qué tipo de propiedades esperaríamos para la luz a una temperatura particular. Y antes de Planck, la mejor información sobre el tema era un resultado llamado Teorema de equipartición, que dice aproximadamente que por cada término cuadrático en la expresión para la energía de un sistema, hay una cantidad de energía [matemáticas] \ frac {1} {2} k_BT [/ math] en equilibrio térmico, donde [math] k_B [/ math] es la constante de Boltzmann. Entonces, un sistema de N átomos tiene 3N porciones de [math] \ frac {1} {2} k_BT [/ math] porque hay [math] \ frac {1} {2} mv_x ^ 2 [/ math], [math ] \ frac {1} {2} mv_y ^ 2 [/ math] y [math] \ frac {1} {2} mv_z ^ 2 [/ math] términos en la energía cinética, y si se mantiene unida por fuerzas interatómicas, tiene otras 3N ayuda de [matemáticas] \ frac {1} {2} kx ^ 2 [/ matemáticas] en la energía potencial. Es importante que obtenga el mismo resultado si se enfoca en átomos individuales o en términos de modos normales, porque hay modos normales 3N, cada uno con un término cuadrático para energía cinética y potencial.
Ahora la luz no está hecha de nada como átomos, pero una caja llena de luz tiene ondas estacionarias, que son similares a los modos normales. Sin embargo, torpemente, hay un número infinito de posibles ondas estacionarias, y están cada vez más densas a frecuencias más altas, es decir, el extremo ultravioleta del espectro. Entonces, si todos tienen dos veces [math] \ frac {1} {2} k_BT [/ math] de energía, obtienes la famosa catástrofe ultravioleta, que es que una caja llena de luz en equilibrio térmico debería tener un cantidad infinita de energía en él, y un objeto negro debería estar ardiendo con radiación ultravioleta e incluso de frecuencia EM más alta.
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La sugerencia de Planck para resolver esto fue proponer que las ondas estacionarias tenían energías cuantificadas: que solo podían tener incrementos [matemáticos] hf [/ matemáticos] de energía, donde h es lo que más tarde se denominó constante de Planck. En las frecuencias infrarrojas lejanas, donde [matemática] \ frac {1} {2} k_BT> hf [/ matemática], nada cambia: cada modo tendrá muchos incrementos de [matemática] hf [/ matemática], y el promedio será [ math] k_BT [/ math] a la antigua. A frecuencias ultravioleta, es al revés: un solo cuántico es mucho más grande que el promedio térmico. Puede calcular el efecto de esto: resulta que la probabilidad de que un modo sea excitado disminuye exponencialmente como la relación de [matemática] k_BT [/ matemática] a [matemática] hf [/ matemática]. Por lo tanto, casi ninguno de los modos de frecuencia más alta está activo. Esto resulta ser exactamente correcto: la energía total es finita y el valor correcto, y el espectro también es exactamente correcto.
