La importancia de esto es que los operadores de escalera que actúan sobre un estado no afectan el valor propio del operador cuadrático de Casimir ([matemática] L ^ 2 [/ matemática]) del álgebra del grupo de rotación. Claramente tenemos [matemáticas] [L ^ 2, L_i] = 0 [/ matemáticas] para [matemáticas] i = (x, y, z) [/ matemáticas] que es lo que significa decir que [matemáticas] L ^ 2 [/ math] es un operador de Casimir. Conmuta con todos los generadores del grupo de rotación álgebra.
Esta es una consecuencia simple de los conmutadores básicos del álgebra:
[matemáticas] [L_i, L_j] = \ epsilon_ {ijk} L_k [/ matemáticas],
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Donde [math] \ epsilon_ {ijk} [/ math] son las constantes de estructura totalmente antisimétricas del álgebra.
Para el grupo de rotación [matemática] L ^ 2 [/ matemática] es en realidad el único operador de Casimir.
Junto con la acción de los operadores de desplazamiento en [matemáticas] L_z [/ matemáticas], que es una opción posible para el generador del subálgebra de Cartan, esto permite una construcción algebraica fácil de las representaciones del álgebra y el grupo de Lie que genera. Los operadores de desplazamiento cambiarán el valor propio de [math] L_z [/ math] por un número entero.
Las representaciones del grupo de rotación y los estados en el espacio de presentación se definen de manera única por los valores propios de [math] L ^ 2 [/ math] y [math] L_z [/ math].
La técnica de construir operadores de cambio o escalera es realmente básica para toda la teoría de los grupos de Lie y se puede usar en el caso general.
