En relatividad general, la conservación de la energía es un fenómeno local .
No tiene sentido hablar sobre “toda la energía en el universo” de una manera que coincida con nuestra intuición clásica, y por lo tanto no hay forma de conservar tal cantidad.
Escribí en esta respuesta aquí acerca de cómo la conservación de energía es una consecuencia del teorema de Noether: el hecho de que el comportamiento del universo sea invariable bajo cambios infinitesimales en el tiempo conduce a una cantidad conservada, que asociamos con la energía.
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La clave es que podemos derivar una corriente conservada:
[math] \ displaystyle J ^ \ mu = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ left (\ partial_ \ mu \ phi \ right)} \ delta \ phi – \ mathcal {J} ^ \ mu \ tag * {} [/ math]
Esta corriente se conserva, entonces:
[matemáticas] \ displaystyle \ nabla_ \ mu J ^ \ mu = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]
En el lenguaje de la relatividad general, donde [math] \ nabla_ \ mu [/ math] es la derivada covariante, una generalización de la derivada habitual para incluir el hecho de que el espacio-tiempo es curvo.
En una conferencia GR, esto es lo que se conoce como “conservación de energía”.
En una teoría clásica, ampliamos esta idea a la idea habitual de conservación de energía al tomar esta corriente conservada y asociarla con una carga conservada al integrar todo el espacio:
[matemáticas] \ displaystyle Q = \ int d ^ 3x J ^ 0 \ tag * {} [/ matemáticas]
Para el caso de una simetría de tiempo, esta [matemática] Q [/ matemática] resulta ser la energía total del sistema.
Sin embargo, este paso es problemático en la relatividad general.
No puede simplemente integrarse en todo el espacio de una manera tan arrogante en la relatividad general. En pocas palabras, la derivada covariante no se comporta de una manera tan agradable como la derivada habitual, un desafortunado efecto secundario del espacio-tiempo curvo.
Esto significa que la afirmación de que la conservación de [matemática] J [/ matemática] que conduce automáticamente a la conservación de [matemática] Q [/ matemática] es muy grave.
Es por esta razón que, a escala global, la energía no se conserva necesariamente en la Relatividad General, lo que explica la ‘energía faltante’ de los fotones desplazados al rojo.
Sin embargo
A escala local, puede (siendo algo cuidadoso) definir la energía como conservada localmente, ya que aún es cierto que la “corriente de energía” aún se conserva.
Esta declaración:
[matemáticas] \ displaystyle \ nabla_ \ mu J ^ \ mu = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]
Sigue siendo cierto, y es lo que los físicos quieren decir cuando hablan sobre la conservación de energía a esta escala.
Esto cae en la categoría de “cosas que se explican por el hecho de que el espacio y el tiempo deben tratarse con mucho cuidado en la relatividad general”, lo que significa que algunas de las cosas que puede hacer en una teoría clásica, no puede hacer trivialmente en la relatividad general – Integrar todo el espacio y descartar términos de superficie es una de esas cosas.
A escala local, es prácticamente imposible distinguir entre esta conservación ‘local versus global’ (es decir, la diferencia entre la corriente conservada y la carga conservada), es solo cuando se observan fenómenos que son verdaderamente universales en escala (es decir, la desplazamiento hacia el rojo del CMB) que puede detectar estas discrepancias.
Por lo tanto, cuando los físicos dicen que “la energía se conserva”, en realidad están agregando una pequeña advertencia al final que dice “… a escala local”. Pero dado que “local” en este contexto significa “dentro de una región del espacio de unos pocos miles de galaxias de ancho”, ¡creo que la advertencia es razonable!
Si desea leer más, acabo de encontrar esta página web que explica algunos de los detalles en detalles, y también presenta una forma manual de solucionar este problema: ¿Se conserva la energía en la relatividad general?