¿Cuáles son algunas paradojas matemáticas?

Encontré uno realmente genial mientras leía sobre procesos estocásticos. Se llama la paradoja de Bertrand .

Supongamos que tiene dos círculos, el interior con radio uno y el exterior con radio dos. Tome cualquier acorde en el círculo exterior. ¿Cuál es la probabilidad de que se cruce con el círculo interno?

Hay tres formas de caracterizar este problema.

1. Un acorde está determinado únicamente por su punto medio si no se cruza con el centro del círculo. La probabilidad es entonces la razón de las áreas de los círculos: [matemáticas] p = \ pi r_1 ^ 2 / \ pi r_2 ^ 2 = 1/4 [/ matemáticas]
2. Debido a la simetría rotacional, puede girar el círculo para que el acorde esté siempre vertical. Luego puede tomar la razón de los diámetros: [matemática] p = d_1 / d_2 = 1/2 [/ matemática]
3. Defina una línea horizontal que pase por el centro de los círculos. Puede medir el ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] después de girar el círculo para que un extremo del acorde toque la horizontal. Los ángulos permitidos para el círculo grande son [matemática] \ pm \ pi / 2 [/ matemática], y para el círculo pequeño son [matemática] \ pm \ pi / 6 [/ matemática]. Tome la razón de los dos (y multiplique cada uno por dos para tener en cuenta los ángulos negativos para los acordes en el hemisferio inferior): [matemáticas] p = \ frac {2 \ pi} {6} / \ frac {2 \ pi} { 2} = 1/3 [/ matemáticas]

Consulte la sección de comentarios para obtener más explicaciones sobre por qué sucede esto.

(Cifras tomadas de las notas de clase de Lawrence Evans sobre ecuaciones diferenciales estocásticas).

Mi favorito es la “paradoja inesperada de la ejecución”.

Es una paradoja acerca de las expectativas de una persona sobre el momento de un evento futuro (por ejemplo, el ahorcamiento de un prisionero o una prueba escolar) que se le informa que ocurrirá en un momento inesperado.

Mucha lluvia de ideas y, sin embargo, hasta la fecha, no hay una solución o explicación correcta para este rompecabezas.

Según Wikipedia, la paradoja se ha descrito como.

Un juez le dice a un preso condenado que lo colgarán al mediodía un día de la semana siguiente, pero que la ejecución será una sorpresa para el preso. No sabrá el día del ahorcamiento hasta que el verdugo toque la puerta de su celda al mediodía de ese día.

Tras reflexionar sobre su sentencia, el prisionero llega a la conclusión de que escapará del ahorcamiento. Su razonamiento es en varias partes. Comienza por concluir que el “ahorcamiento sorpresa” no puede ser el viernes, como si no lo hubieran ahorcado el jueves, solo le queda un día, por lo que no será una sorpresa si lo ahorcaron el viernes. Dado que la sentencia del juez estipulaba que el ahorcamiento sería una sorpresa para él, concluye que no puede ocurrir el viernes.

Luego razona que el ahorcamiento sorpresa tampoco puede ser el jueves, porque el viernes ya ha sido eliminado y si no ha sido ahorcado el miércoles por la noche, el ahorcamiento debe ocurrir el jueves, por lo que tampoco es una sorpresa. Por un razonamiento similar, concluye que el ahorcamiento tampoco puede ocurrir el miércoles, martes o lunes. Alegremente se retira a su celda confiando en que el ahorcamiento no ocurrirá en absoluto.

La semana siguiente, el verdugo llama a la puerta del prisionero al mediodía del miércoles, lo que, a pesar de todo lo anterior, fue una gran sorpresa para él. Todo lo que dijo el juez se hizo realidad.

Fuente: paradoja inesperada

En la teoría de la probabilidad, el problema del cumpleaños o la paradoja del cumpleaños se refiere a la probabilidad de que, en un conjunto de n personas elegidas al azar, algunos de ellos tengan el mismo cumpleaños. Según el principio del casillero, la probabilidad alcanza el 100% cuando el número de personas llega a 367 (ya que hay 366 cumpleaños posibles, incluido el 29 de febrero). Sin embargo, el 99% de probabilidad se alcanza con solo 57 personas, y el 50% de probabilidad con 23 personas. Estas conclusiones incluyen el supuesto de que cada día del año (excepto el 29 de febrero) es igualmente probable para un cumpleaños.

El problema del cumpleaños pregunta si alguna de las personas en un grupo dado cumple años con cualquiera de los otros, no con uno en particular.

En el ejemplo dado anteriormente, una lista de 23 personas, comparando el cumpleaños de la primera persona de la lista con las demás, permite 22 oportunidades para un cumpleaños coincidente, la segunda persona de la lista con las otras permite 21 oportunidades para un cumpleaños coincidente, La tercera persona tiene 20 oportunidades, y así sucesivamente. Por lo tanto, las posibilidades totales son: 22 + 21 + 20 + … + 1 = 253, por lo que comparar a cada persona con todas las demás permite 253 posibilidades distintas (combinaciones): en un grupo de 23 personas hay pares.
Suponiendo que todos los cumpleaños son igualmente probables, la probabilidad de un cumpleaños determinado para una persona elegida de la población al azar es 1/365 (ignorando el Día bisiesto, 29 de febrero). Aunque los emparejamientos en un grupo de 23 personas no son estadísticamente equivalentes a 253 pares elegidos independientemente, la paradoja del cumpleaños se vuelve menos sorprendente si se piensa en un grupo en términos del número de pares posibles, en lugar del número de individuos.

Efron, Escher, Shephard. Una eterna espiral circular.

Supongamos que los dos elegimos uno de los cuatro dados de Efron a continuación y tenemos un duelo:

Entonces, ¿cuál elegirías?

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Piedra

La esquina superior izquierda del diagrama a continuación muestra que el naranja-azul [matemática] d_4 [/ matemática] supera al amarillo [matemática] d_3 [/ matemática], porque en el 66.7% de los casos el cuatro supera a los tres:

Sin embargo, contra [math] d_5 [/ math], [math] d_4 [/ math] pierde ( esquina superior derecha ), porque en el 50% de los casos, se encuentra con un 5 imbatible, pero incluso cuando se enfrenta a un 1, aún puede perder con un cero.

Del mismo modo, puede ver que a su vez [matemáticas] d_6 [/ matemáticas] late [matemáticas] d_5 [/ matemáticas] ( esquina inferior derecha ).

Pero ahora viene la sorpresa ( esquina inferior izquierda ): [math] d_3 [/ math] beats [math] d_6 [/ math]! Esto significa que estos cuatro dados se comportan como piedra, papel o tijera:

[matemáticas] d_3> d_6> d_5> d_4 … [/ matemáticas]

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¿Espiral o círculo?

Este círculo infinito de fortalezas crecientes tiene la misma estructura que las escaleras de Penrose, que es tanto espiral como circular:

‘Ascendiendo y descendiendo’, MC Escher (1960)

Y, de hecho, cuando se mira de cerca, el diagrama de probabilidad de los dados revela una espiral, causada por el hecho de que cuando los valores de los dados aumentan, la relación entre los números altos y bajos disminuye en su lugar:

Hay una famosa ilusión auditiva que hace uso de este efecto, creando un tono (acorde) con un tono creciente, que parece divergir a una frecuencia infinitamente alta:

El truco en este tono de Shephard es que los tonos individuales tienen un tono creciente, pero un volumen decreciente. Mientras tanto, se reemplazan gradualmente por sus tonos correspondientes una octava más baja.

El mismo truco se usa en los dados no transitivos.

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Fuente: dados no transitivos

La paradoja matemática más alucinante según yo es la paradoja del Hotel Hilbert .

LA PARADOJA
Considere un hotel hipotético (Hotel Hilbert) con un número infinitamente contable (que no es más que un mapeo individual a números naturales) de habitaciones, todas las cuales están ocupadas. Uno podría sentirse tentado a pensar que el hotel no podría acomodar a ningún huésped recién llegado, como sería el caso con un número finito de habitaciones. Sin embargo, este no es el caso.

1. FINITO :
Supongamos que llega un nuevo huésped y desea ser alojado en el hotel. Debido a que el hotel tiene habitaciones infinitas, podemos mover a cualquier huésped que ocupe cualquier habitación n a la habitación n + 1, luego acomodar al recién llegado en la habitación 1. Al repetir este procedimiento, es posible dejar espacio para cualquier número finito de nuevos huéspedes.

2. INFINITO :
También es posible acomodar una cantidad infinita de nuevos invitados: simplemente mueva la persona que ocupa la habitación 1 a la habitación 2, el huésped que ocupa la habitación 2 a la habitación 4 y, en general, el huésped que ocupa la habitación n a la habitación 2n, y todo Las habitaciones impares (que son infinitas) serán gratuitas para los nuevos huéspedes.

3. INFINITO DENTRO DEL INFINITO :
Es posible acomodar innumerablemente infinitos autobuses de pasajeros infinitamente contables cada uno, por varios métodos diferentes. Uno de estos métodos involucra el concepto de números primos infinitos de Euler. Entonces, a cada autobús se le asignará un número primo que diga n. Cada persona en ese autobús con el número de asiento m irá al número de habitación n ^ m.
Digamos que consideramos un autobús. Déjenos asignarle el número primo 3. Entonces, el pasajero en el asiento número 7 irá a la habitación 3 ^ 7. De este modo, todos los pasajeros en todos los autobuses tendrán espacio en el hotel.

Estos casos constituyen una paradoja no en el sentido de que implican una contradicción lógica, sino en el sentido de que demuestran un resultado contraintuitivo que es demostrablemente cierto: las declaraciones “hay un invitado en cada habitación” y “no más invitados pueden estar acomodado “no son equivalentes cuando hay infinitas habitaciones.

Mi favorita es la conocida paradoja de Zenón. Más aún, me gustan las versiones de Dicotomía paradoja y Aquiles y la paradoja de la tortuga.

Paradoja de la dicotomía: antes de que un objeto pueda recorrer una distancia determinada, debe recorrer una distancia. Para viajar, debe viajar, etc. Dado que esta secuencia continúa para siempre, parece que la distancia no se puede recorrer. La resolución de la paradoja aguardaba el cálculo y la prueba de que una serie geométrica infinita tal como puede converger, de modo que el número infinito de “medios pasos” necesarios se equilibra con la cantidad de tiempo cada vez más corta necesaria para atravesar las distancias.

Aquiles y la paradoja de la tortuga: un Aquiles de una flota de pies es incapaz de atrapar una tortuga pesada que se le ha dado una ventaja, ya que durante el tiempo que le lleva a Aquiles alcanzar una posición determinada, la tortuga se ha movido un poco . ¡Pero esto es obviamente falaz ya que Aquiles claramente pasará la tortuga! La resolución es similar a la de la paradoja de la dicotomía.

http://mathworld.wolfram.com/Zen …

¡Estas paradojas matemáticas son ejemplos de cómo la lógica matemática va completamente en contra del sentido común!

Paradoja de la duración de la distancia de Zenon

El griego stoik zenon estaba intrigado por el infinito, y se le ocurrió una serie de paradojas de las cuales esta es la más famosa:

Existe una cantidad infinita de números naturales (0,1, 2, 3, 4 …) y entre cada número natural hay una cantidad infinita de números decimales. Entonces, si tuviera que caminar cualquier distancia, por ejemplo 1 metro. Hay un número infinito de puntos entre usted y su destino. Y debido a que lleva cierto tiempo llegar de un punto a otro, en un tiempo finito no llegaría a ningún lado.

La paradoja de Aquiles

Imagine una carrera de 100 metros entre una tortuga y el semidiós griego Aquiles. Por lástima, Aquiles le da tiempo a la tortuga para llegar a la mitad (50 metros) antes de que comience a correr. La tortuga alcanza la marca de 50 metros y Aquiles comienza a correr. Rápidamente alcanza a la tortuga, pero nunca pasa. ¿Cómo es eso así? Bueno, digamos que la distancia entre Aquiles y la tortuga en algún momento de la carrera fue de 1 metro. En el tiempo que le tomó a Aquiles correr ese pequeño e insignificante medidor, la tortuga ya ha recorrido un poco más, digamos un centímetro. Aquiles cubre esa distancia de un centímetro después de eso en un tiempo extremadamente pequeño, pero la tortuga ya ha ido un poco, un poco más lejos. En otras palabras: Aquiles nunca puede escapar de la tortuga. Y así la tortuga gana la carrera.

La paradoja del mentiroso: “Esta oración es una mentira”. ¿Es verdadera la oración?

Si es así, entonces la oración es falsa (porque dice que es una mentira después de todo). Entonces tenemos una contradicción.

Si no, entonces la oración se supone falsa. Pero debido a que la oración dice que es una mentira, si asumimos que es falsa, entonces la oración debe ser verdadera (no una mentira). Nuevamente tenemos una contradicción.

Ves varias formas que aparecen en muchos lugares. Creo que se debe a Bertrand Russell.

Tus amigos tienen más amigos que tú, al menos en promedio.

Vaya a Wikipedia y lea cómo esto puede ayudar a prevenir la propagación de epidemias: la paradoja de la amistad.

Lo que más me gustaba de mis alumnos de cálculo era el Cuerno de Gabriel:
[matemática] y = \ frac {1} {x} [/ matemática] donde [matemática] x \ geq 1 [/ matemática]
con volumen finito pero área de superficie infinita. Cuando hablamos de llenar esto con pintura y pintar el exterior, uno podía escuchar los estómagos revolviéndose.

Una paradoja comienza con un conjunto dado de afirmaciones y, mediante la aplicación de reglas de lógica, llega a una situación en la que, siguiendo cualquiera de las opciones, decir “sí / no” conduce a una contradicción con lo que se dijo inicialmente.

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Bertrand Russell, filósofo y matemático, introdujo los conceptos de conjuntos y conjuntos de conjuntos. En particular, piense en todas las listas (de todo tipo). Deje que “X” sea un conjunto de todas las listas. Entonces X en sí mismo es una lista y, por lo tanto, se pertenece a sí mismo. Russell demostró que tales conjuntos de varias capas pueden conducir a contradicciones y paradojas.

Por ejemplo, considere el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen. Llámalo “@”. ¿@ Se contiene a sí mismo? Si es así, tenemos una contradicción ya que estamos buscando un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen. Si @ no se pertenece a sí mismo, nuevamente tenemos una contradicción ya que @ es un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos, por lo que @ debería contenerse a sí mismo. Esto se conoce como la paradoja de Russell.

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En caso de que esté confundido, hay un caso práctico de la paradoja de Russell, llamado el barbero del pueblo . Un barbero del pueblo establece la regla de que se afeitará a aquellos y solo a aquellos que no se afeiten. ¿Se afeita él mismo? Supongamos que lo hace. Entonces pertenece a la clase que se afeita. Tales personas no son atendidas por el barbero según su regla. Entonces no se afeita. En consecuencia tenemos una contradicción. Si asumimos la otra alternativa, a saber, que el barbero no se afeita, entonces él pertenece a la clase cuyos miembros son atendidos por el barbero. Una vez más, tenemos una contradicción, desde entonces debería afeitarse, lo cual no hace según nuestra suposición.

(Fuente: pensamiento lógico en matemáticas y en otros lugares – Jayant V. Narliker )

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Vota por favor si te gusta la respuesta.

Los dados no transitivos:

Un juego de dados no es transitivo si contiene tres dados, A , B y C , con la propiedad de que A tira más alto que B más de la mitad del tiempo, y B tira más alto que C más de la mitad del tiempo, pero no es cierto que A rueda más alto que C más de la mitad del tiempo. En otras palabras, un conjunto de dados no es transitivo si su relación “tira un número mayor que más de la mitad del tiempo” no es transitiva.

“Es absolutamente paradójico; no podemos entenderlo, y no sabemos lo que significa, pero lo hemos probado y, por lo tanto, sabemos que debe ser la verdad”.
– Benjamin Pierce

“Como un soneto de Shakespeare que captura la esencia misma del amor, o una pintura que resalta la belleza de la forma humana que es mucho más que la piel, la ecuación de Euler llega hasta las profundidades de la existencia”.
– Keith Devlin

Aquí hay una lista que he recopilado en lógica. El primero es famoso; los siguientes son menos conocidos (sus nombres son mis propios epítetos, por lo tanto, entre comillas).

• La paradoja de Skolem

Aunque se garantiza que habrá conjuntos incontables, existe un modelo contable de teoría de conjuntos (en el que existen conjuntos internamente incontables). [1]

• “La paradoja de Feferman”

Según el segundo teorema de incompletitud de Gödel, PA no puede probar su propia consistencia. Sin embargo, hay una teoría T cuyos axiomas son exactamente los mismos que en PA, pero que demuestra su propia consistencia. [2]

• “Paradoja de los Reales Definibles”

Llame a un número real definible si hay una fórmula de primer orden sin parámetros que lo defina sobre el lenguaje de la teoría de conjuntos. Claramente, solo hay muchas fórmulas de este tipo. Entonces, la conclusión natural es que solo hay innumerables reales definibles y, por lo tanto, casi todos los reales son indefinibles, ya que hay innumerables reales. ¿Derecho? Incluso Wikipedia hizo esta falsa inferencia antes de que la corrigiera y escuché a los estudiantes de lógica comentar casualmente sobre cómo casi todo lo real es indefinible. Pero este razonamiento “obvio” está mal. El hecho, y una aparente paradoja, es que a pesar de que solo hay innumerables fórmulas de primer orden sin parámetros, hay un modelo de teoría de conjuntos en el que cada uno de los innumerables reales se define por uno de sus innumerables parámetros. definiciones. [3] [4]

Por lo tanto, contrariamente a la idea errónea común, no podemos concluir la existencia de ningún real indefinible a pesar de que solo hay muchas definiciones.

• “Paradoja de la estructura del cociente”

En ausencia del Axioma de Elección, es coherente que haya una partición del conjunto de números reales en estrictamente más que subconjuntos continuos disjuntos. [5]

Si quieres una más elemental, aquí hay una presentada por mi profesor de lógica el primer día del curso de pregrado. Es una especie de versión más elaborada de Hilbert’s Hotel:

• Suponga que un tren originalmente tiene una persona en él y luego se detiene en las estaciones [matemáticas] s_1, s_2, s_3, [/ matemáticas] etc. En cada estación, dos personas se suben y una se baja. Después de que el tren se detiene en todas las estaciones [math] s_n [/ math] para [math] n [/ math] un número natural (así que infinitas estaciones), se detiene en la estación [math] s_ \ omega [/ math] ( donde [math] \ omega [/ math] es el primer ordinal infinito, que se puede considerar como “número de estación ∞”). ¿Cuántas personas están en el tren en la estación [math] s_ω [/ math]?

La paradoja es la siguiente. Uno podría pensar que debido a que el número de personas en el tren aumenta en una red de 1 en cada estación, habría infinitas personas en el tren en la estación [math] s_ \ omega [/ math]. Sin embargo, resulta que en la estación [math] s_ \ omega [/ math], ¡el tren podría estar vacío!

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Anexo: Aquí hay uno derivado de esta publicación:

• “Paradoja de eventos independientes”

Supongamos que tú y muchas otras personas van a jugar conmigo. Para cada uno de ustedes, voy a lanzar una moneda y colocarles un sombrero blanco o negro en la cabeza según si la moneda cae cara o cruz. Cada persona puede ver el sombrero de todos pero no el suyo. Después de que termine de colocar un sombrero en la cabeza de todos, a mi señal, todos deben gritar simultáneamente su suposición sobre el color de su propio sombrero. La paradoja es esta: usted y todos los demás pueden idear una estrategia de antemano que garantizará que todos, excepto finitamente, adivinen correctamente el color de su propio sombrero . ¡Pero su sombrero fue determinado por un lanzamiento de moneda, independiente de los demás! Sin embargo, a pesar de esta independencia, el sombrero de todos los demás determina casi por completo cómo se lanzó la moneda por ti en el sentido de que es casi seguro que no estás entre esas muchas personas que adivinarán incorrectamente.

Notas al pie

[1] La paradoja de Skolem – Wikipedia

[2] ¿Existe una extensión coherente definible aritméticamente de PA que demuestre su propia consistencia?

[3] ¿Es el análisis como se enseña en las universidades, de hecho, el análisis de números definibles?

[4] [1105.4597] Modelos definibles puntiagudos de teoría de conjuntos

[5] Biyección entre $ \ mathbb {R} $ y $ \ mathbb {R} / \ mathbb {Q} $

La suma infinita de todos los números naturales es un número racional negativo, a saber,

[matemáticas] 1 \, + \, 2 \, + \, 3 \, + \, 4 \, + \,… \, = \, – \ dfrac {1} {12} [/ matemáticas]

No puedo recomendar lo suficiente este video explicando por qué: youtu.be/sD0NjbwqlYw

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ – Wikipedia

El teorema de la imposibilidad de la flecha es un poco sorprendente para las personas que lo escuchan por primera vez. De hecho, la mayoría de la gente no esperaría que las matemáticas tengan mucho que decir sobre la posibilidad de una democracia efectiva.

¿Qué dice exactamente el pequeño teorema fascinante de Kenneth Arrow? Dice que no se puede tener un sistema de votación democrático que sea perfectamente justo.

¿Qué significaría que un sistema de votación sea justo?

En primer lugar, en realidad debe funcionar. Si todos informan sus preferencias, nos gustaría poder clasificar las preferencias del grupo utilizando estos informes y obtener los mismos resultados cada vez.

Además, nos gustaría que respete las preferencias individuales. Si cada votante prefiere al candidato Alice al candidato Bob, entonces el sistema de votación debería indicar que Alice es la preferencia de todo el grupo. (Ni siquiera diremos qué hacer cuando las preferencias individuales no son transitivas).

Probablemente también nos gustaría que todos puedan opinar. Básicamente, no queremos darle a una persona la capacidad de determinar el resultado por sí mismo.

Y, por último, no tendría sentido agregar o eliminar a un tercer candidato Charlie para cambiar la preferencia del grupo entre Alice y Bob. Si el grupo prefiere a Alicia a Bob, entonces ¿por qué Charlie entrar en la carrera repentinamente hace que el grupo prefiera a Bob a Alicia, a pesar de que ninguna opinión individual ha cambiado? No tendría sentido.

Todas condiciones bastante razonables para una elección justa, diría. Y todavía…

… Ken Arrow nos dice que no podemos tener ese pastel y comerlo también. Es matemáticamente imposible que las tres condiciones se cumplan simultáneamente con un sistema de votación diseñado para elegir entre tres o más alternativas.

Lo que significa que cada sistema de votación utilizado en cualquier parte del mundo hoy es injusto. Estoy seguro de que ya lo sabías, pero es posible que no te hayas dado cuenta de que no hay absolutamente nada que podamos hacer para solucionarlos por completo.

La interesante paradoja de los números es una paradoja semi-humorística que surge de intentar clasificar los números naturales como “interesantes” o “aburridos”. La paradoja afirma que todos los números naturales son interesantes. La “prueba” es por contradicción: si hubiera números sin interés, habría un número sin interés más pequeño, pero el número sin interés más pequeño es interesante porque es el número sin interés más pequeño, lo que produce una contradicción.

Fuente:
https://en.wikipedia.org/wiki/In …

La paradoja de Parrondo, en la que jugar dos juegos, cada uno con menos de 50-50 de posibilidades de ganar, se puede combinar para producir una estrategia que gane más de lo que pierde.

18–9 paradoja

Todavía no puedo encontrar la manera de resolver esto. Todo el mundo sabe que la respuesta es 9, pero cómo probar con este método definitivamente es realmente difícil.