No estoy seguro de lo que quieres decir: el LHS es [matemática] Lu [/ matemática], no solo [matemática] u [/ matemática]. Además, la función de Green generalmente no es diferenciable en todas partes, de eso se trata. La función de One Green para el operador [math] \ frac {d} {dx} [/ math] es la función de paso, por ejemplo.
La función delta está en un terreno matemático sólido (aunque en realidad no es una función), por lo que si está dispuesto a aceptar eso, entonces la demostración del procedimiento de la función de Green es bastante sencilla:
[matemáticas] L_x [u (x)] = v (x) [/ matemáticas]
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Tenga en cuenta que [math] L_x [/ math] es un operador diferencial en la variable [math] x [/ math] solamente. Ahora imagine que podríamos encontrar una función tal que
[matemáticas] L_x [G (x)] = \ delta (x) [/ matemáticas]
Luego definimos la solución
[matemáticas] u (x) = \ int dy v (y) G (yx) [/ matemáticas]
Esto satisfizo explícitamente la ecuación original:
[matemática] L_x [u (x)] = L_x \ izquierda [\ int dy v (y) G (yx) \ derecha] = \ int dy v (y) L_x [G (yx)] [/ matemática]
[matemáticas] = \ int dy v (y) \ delta (yx) = v (x) [/ matemáticas]