En el método de Green para resolver ecuaciones lineales, ¿por qué es apropiado pensar en la función delta de Dirac como una especie de base para las funciones?

No estoy seguro de lo que quieres decir: el LHS es [matemática] Lu [/ matemática], no solo [matemática] u [/ matemática]. Además, la función de Green generalmente no es diferenciable en todas partes, de eso se trata. La función de One Green para el operador [math] \ frac {d} {dx} [/ math] es la función de paso, por ejemplo.

La función delta está en un terreno matemático sólido (aunque en realidad no es una función), por lo que si está dispuesto a aceptar eso, entonces la demostración del procedimiento de la función de Green es bastante sencilla:

[matemáticas] L_x [u (x)] = v (x) [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [math] L_x [/ math] es un operador diferencial en la variable [math] x [/ math] solamente. Ahora imagine que podríamos encontrar una función tal que

[matemáticas] L_x [G (x)] = \ delta (x) [/ matemáticas]

Luego definimos la solución

[matemáticas] u (x) = \ int dy v (y) G (yx) [/ matemáticas]

Esto satisfizo explícitamente la ecuación original:

[matemática] L_x [u (x)] = L_x \ izquierda [\ int dy v (y) G (yx) \ derecha] = \ int dy v (y) L_x [G (yx)] [/ matemática]

[matemáticas] = \ int dy v (y) \ delta (yx) = v (x) [/ matemáticas]

El hecho de que L sea “agradable” no significa que Lu lo sea; y solo porque Lu es “agradable” no significa que pueda invertir L y obtener algo “bueno” de ello.

En realidad, justificar esta operación no es trivial. Los ingenieros estaban haciendo este tipo de cosas durante mucho tiempo antes de que la teoría de la medida se pusiera al día con una explicación de por qué funciona. Otros carteles, que aún pueden recordar todos los nombres propios que rara vez puedo, han dado consejos sobre los teoremas y definiciones en los que se basa.

Si esperaba una justificación tan simple como el proceso, no tiene suerte, aunque supongo que alguien algún día podría encontrar una realmente elemental.

Seguramente, si acepta la legitimidad del proceso, es obvio que la familia de funciones delta “realmente son” una base para una clase de soluciones que incluyen muchas importantes “suficientemente bien comportadas”. Mostrar que es cierto para una clase en particular se reduce a los detalles arenosos de la justificación. Si desea “funciones suaves compatibles de forma compacta”, eso es lo que necesita para justificarlo. Una vez que haya aceptado la justificación, en confianza si es necesario, eso determina el espacio de solución a utilizar. Establecer la independencia es fácil (a menos que elija un subdominio de aspecto arbitrario que simplemente mantenga las soluciones en cero en algún argumento; pero luego la independencia para los deltas aplicables no es realmente necesaria). La integridad se reduce a “si se define para dos soluciones, deben ser iguales”, lo que generalmente no es difícil de mostrar, a menos que su dominio realmente incluya “soluciones” para las cuales L no está definida. Eso deja “los límites necesarios existen”, que es exactamente la “justificación” necesaria.

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