Un espacio de probabilidad se define como un conjunto de resultados, un Álgebra Sigma sobre esos resultados y una función que asigna probabilidades a las colecciones en el álgebra σ (estas colecciones son “eventos”).
Las álgebras σ son similares a las topologías, pero están cerradas solo bajo uniones contables (e intersecciones). El par (X, ∑) se llama espacio medible . Por ejemplo, una tirada de dados tiene resultados {1, 2, 3, 4, 5, 6} y puede definir el σ-álgebra como el conjunto de potencia de {1,2,3,4,5,6}. Asignar la probabilidad de 1/6 a cada resultado (aunque no a todos los eventos) produce el espacio de probabilidad con el que estamos familiarizados.
Si tiene innumerables hipótesis infinitas, su espacio aún debe ser medible . Un álgebra sigma común se llama el conjunto Borel que funciona para cualquier espacio topológico; el conjunto Borel es el álgebra σ generado por todos los conjuntos abiertos en la topología (y, por lo tanto, también contiene todos los conjuntos cerrados).
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Se dice que un álgebra σ es “generada” por algún conjunto de conjuntos de resultados si es el álgebra σ más pequeño posible que contiene esos resultados (es decir, cada álgebra σ que contiene el conjunto generador. Por ejemplo, si el conjunto de resultados es {1, 2, 3}, entonces el álgebra σ generado por {{1}} es {{}, {1}, {2,3}, {1,2,3}} (tenga en cuenta que un álgebra σ debe contener el conjunto vacío y el conjunto de todos los resultados; requerir que también contenga {1} significa que también debe contener {2,3}, porque un σ-álgebra debe estar cerrado bajo intersecciones / uniones).
El conjunto Borel se puede generar a partir de cualquier topología (no solo cualquier espacio métrico) pero puede no estar completo. Un resultado de esto fue la medida de Lebesgue, que completa la medida de Borel para números reales. Lo relevante aquí es que necesitaría definir algo de álgebra σ, y que los conjuntos Borel son a menudo un buen lugar para comenzar.
Una vez que tenga un álgebra σ, escalarlo de modo que P (X) = 1 y etiquetar todos los eventos con la medida “0” como “nulo” en algún sentido conduzca a todos los axiomas de probabilidad.
- P (A) ≥ 0
- P (X) = 1
- si P (A y B) = 0, entonces P (A) + P (B) = P (A o B)