¿Puedes usar el principio de incertidumbre de Heisenberg para explicar cómo un electrón (que actúa como una partícula) interactúa con una sola rendija?

Un electrón solo “actúa como una partícula” cuando se detecta. Una “rendija” no es un detector, es un agujero por el que puede pasar el electrón. Entonces, su pregunta está erróneamente planteada: es la naturaleza ondulatoria del electrón que gobierna cuando pasa a través de la ranura.

Además, el electrón no “interactúa” con la hendidura. Como dije, es solo un agujero, un agujero delgado, a través del cual puede pasar.

Creo que lo que estás buscando es que la hendidura restringe la posición del electrón (en el plano de la hendidura). Cuanto más estricta sea la restricción, es decir, cuanto más segura sea la posición, menos seguro será el impulso del otro lado. Es decir, cuanto más estrecha es la hendidura, más amplia es la distribución de donde finalmente termina el electrón.

También hay una pista en la pregunta, la palabra “interactúa”, que espera poder explicar cualquier cambio en la dirección de viaje midiendo el retroceso del material del que se corta la hendidura, es decir, la conservación de impulso. Esta es una línea de investigación peligrosamente engañosa, ya que una medición del momento transversal en la rendija causa complejidad en el resultado aguas abajo. Más concretamente, el retroceso de los bordes de la ranura no es la razón por la que ocurre la difracción de una sola ranura.

Si. Puede usar el principio de Heisenberg para esto. En realidad es bastante simple.

Supongamos que tenemos un electrón que se mueve en la dirección x con energía [matemática] E = \ hbar ^ 2k_x ^ 2 / 2m_e [/ matemática] donde [matemática] p_x = \ hbar k_x [/ matemática] es el impulso en la x- dirección comenzando desde -x y moviéndose hacia + x. En x = 0, encontramos una hendidura de ancho L en la dirección y.

Antes de la rendija, [math] p_y = 0 [/ math] y el electrón es simplemente una onda plana.

En la rendija, debemos obedecer el principio de Heisenberg: [matemáticas] \ Delta y \ Delta p_y \ ge \ hbar / 2 [/ matemáticas]

En la ranura [matemáticas] \ Delta y = L [/ matemáticas]. Hemos localizado el electrón en esta pequeña región. También tenemos eso

[matemáticas] \ Delta p_y = (\ langle p ^ 2_y \ rangle – \ langle p_y \ rangle ^ 2) ^ {1/2} [/ math]

Como la ranura es uniforme en y, podemos tomar [math] \ langle p_y \ rangle = 0 [/ math] y tener eso

[matemáticas] \ langle p ^ 2_y \ rangle \ ge \ frac {\ hbar ^ 2} {4L ^ 2}. [/ matemáticas]

En otras palabras, para x> 0, tenemos una incertidumbre en la componente y del vector de onda dada por

[matemáticas] \ hbar \ Delta k_y \ ge \ frac {\ hbar} {2L}. [/ matemáticas]

Como la energía total se conserva a ambos lados de la ranura, debemos tener eso

[matemáticas] \ frac {(\ hbar k_x) ^ 2} {2m_e} = \ frac {\ hbar ^ 2} {2m_e} ((k’_x) ^ 2 + (k’_y) ^ 2) [/ math]

donde k ‘es el componente del vector de onda para x> 0 yk es el componente del vector de onda para x <0. Como ahora tenemos una incertidumbre en el componente y, el electrón se dispersa lejos de moverse en paralelo al eje x. Formalmente, escribiríamos esto en una serie de ondas esféricas que emiten desde la ranura.

Este no es un gran misterio. Puede ver esto demostrado al observar las olas de agua que se encuentran con una abertura estrecha.

Por cierto, también tenemos un componente de retrodispersión para el flujo de electrones que no se transmite a través de la ranura.