Se lanza una bola A hacia arriba. Regresa 6 segundos después. ¿Cuál es la mayor altura alcanzada por la pelota y la velocidad inicial de la pelota?
Respuesta : Altura máxima [matemática] \ aprox44.1 \; m [/ matemática] y velocidad inicial [matemática] \ aprox29.4 \; m / s. [/ Matemática]
Aparte de la gravedad, ignoraremos todas las demás fuerzas, como el viento, los pájaros que agarran la pelota, etc. También asumiremos que la pelota se lanza hacia arriba y cae exactamente a la misma altura desde la que se lanza, lo que probablemente no sería el caso.
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Dejaremos que [matemáticas] g \ aprox9.807 \; m / s ^ {2} [/ matemáticas] sea la fuerza de la gravedad, que es una aceleración hacia abajo (negativa).
[matemáticas] \ qquad a (t) = – g [/ matemáticas]
Integraremos la aceleración con respecto al tiempo para obtener la velocidad y agregaremos [math] v_ {0} [/ math], la velocidad inicial. Luego nos integraremos nuevamente con respecto al tiempo para obtener la distancia.
[matemáticas] \ qquad \ begin {array} {ll} v (t) = & -gt + v_ {0} \\ s (t) = & – \ tfrac {1} {2} gt ^ {2} + v_ {0} t \ end {array} [/ math]
Dado que la pelota es lanzada y cae a la misma altura y tarda 6 segundos en hacerlo, debe tomar la mitad de ese tiempo, o 3 segundos, para alcanzar su altura máxima (conservación de energía). En ese momento la velocidad será 0. De esto obtenemos la velocidad inicial.
[matemáticas] \ quad \ begin {array} {ll} & v (3) = – g (3) + v_ {0} = 0 \\ \ Rightarrow & \ boxed {v_ {0} = 3g \ approx3 \ cdot9. 807 \ approx29.421 \; m / s} \ end {array} [/ math]
Ahora usamos la velocidad inicial para calcular la altura máxima de la pelota.
[matemáticas] \ quad \ begin {array} {ll} & s (3) = – \ tfrac {1} {2} g (3) ^ {2} + (3g) (3) = \ tfrac {9} { 2} g \\ \ Rightarrow & \ boxed {s (3) \ approx \ tfrac {9} {2} \ cdot9.807 \ approx44.1315 \; m} \ end {array} [/ math]