¿Qué tienen que ver las matrices de Pauli con el espín electrónico?

Considere primero un vector regular en tres dimensiones. Se puede realizar una rotación general de ese vector con la matriz exp (i theta * R) donde theta es un vector tridimensional de ángulos de Euler y R son las matrices de rotación tridimensional. Básicamente, cualquier rotación puede ser parametrizada por tres ángulos y tres matrices (http://en.wikipedia.org/wiki/Eul…).

Ahora considere un electrón solitario. Su posición es un vector, que gira exactamente como se indica arriba. Cuando el electrón gira, sin embargo, sucede algo más.

El electrón tiene una propiedad llamada espín, que casi se comporta como un vector pero no del todo. No hay tres ángulos de Euler, pero dos y las rotaciones se generan con la matriz exp (i theta * sigma) donde sigma es el vector de las tres matrices de Pauli bidimensionales.

Comprender las partículas con espín requiere comprender cómo se transforma ese espín, y eso requiere un conocimiento íntimo de las matrices de Pauli y sus propiedades.

Matemáticamente, el electrón se describe como una teoría de campo cuántico invariante de Lorentz, lo que significa que se transforma bajo una representación del grupo de Poincare que contiene impulsos y rotaciones relativistas. Después de la construcción del pequeño grupo para factorizar los aumentos, el electrón se queda con una simetría interna SU (2) que se transforma con las matrices de Pauli como se describe anteriormente. Más jerga, las transformaciones del grupo SU (2) Lie son generadas por el álgebra de Lie dado por las tres matrices de Pauli.

Los vectores son representaciones irreductibles del álgebra de Lie SO (3), cuyas transformaciones son generadas por el álgebra de Lie dado por las tres matrices de rotación.

OK, tenemos una respuesta matemática correcta, ahora intentaré proporcionar una respuesta simple más o menos adecuada para la abuela.

Por un lado, las matrices de Pauli representan operadores que nos dan una proyección del giro del electrón en los ejes x, y, z. Entonces, puede pensar que spin es un vector y queremos saber a dónde apunta, luego las matrices de Pauli, cuando las multiplica en la parte spinor de la función de onda, le darán componentes x, y, z de este vector .

Y como dan proyecciones de giro, sobre una base de ellos podemos construir operadores de rotación en el espacio de giro. Al aplicar dicho operador para girar podemos rotarlo.

Las matrices de Pauli son las versiones adimensionales del giro en las direcciones x, y, z . Esencialmente, podemos representar el estado del espín electrónico como una combinación lineal de 2 estados [matemática] \ alfa, \ beta. [/ Matemática] Podemos representar la función [matemática] \ Psi = c _ {\ alpha} \ alpha + c _ {\ beta} \ beta [/ math] como el vector: [math] [/ math]

y las matrices de Pauli son esencialmente operadores que actúan sobre el vector y devuelven un vector en la dirección respectiva. Por ejemplo, en la dirección z, tenemos [math] \ hat {S} _z \ psi = \ psi ‘. [/ Math] El operador es esencialmente una matriz 2 × 2 que actúa sobre el vector representado por la ecuación siguiente:

Cualquier operador en el espacio 2 × 2 se puede escribir como una combinación lineal de [matemáticas] S_z, S_y, S_z, S ^ 2, [/ matemáticas] y las matrices de Pauli son las formas adimensionales de los vectores [matemáticas] S_z, S_y , S_z [/ math] representado por: