Considere primero un vector regular en tres dimensiones. Se puede realizar una rotación general de ese vector con la matriz exp (i theta * R) donde theta es un vector tridimensional de ángulos de Euler y R son las matrices de rotación tridimensional. Básicamente, cualquier rotación puede ser parametrizada por tres ángulos y tres matrices (http://en.wikipedia.org/wiki/Eul…).
Ahora considere un electrón solitario. Su posición es un vector, que gira exactamente como se indica arriba. Cuando el electrón gira, sin embargo, sucede algo más.
El electrón tiene una propiedad llamada espín, que casi se comporta como un vector pero no del todo. No hay tres ángulos de Euler, pero dos y las rotaciones se generan con la matriz exp (i theta * sigma) donde sigma es el vector de las tres matrices de Pauli bidimensionales.
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Comprender las partículas con espín requiere comprender cómo se transforma ese espín, y eso requiere un conocimiento íntimo de las matrices de Pauli y sus propiedades.
Matemáticamente, el electrón se describe como una teoría de campo cuántico invariante de Lorentz, lo que significa que se transforma bajo una representación del grupo de Poincare que contiene impulsos y rotaciones relativistas. Después de la construcción del pequeño grupo para factorizar los aumentos, el electrón se queda con una simetría interna SU (2) que se transforma con las matrices de Pauli como se describe anteriormente. Más jerga, las transformaciones del grupo SU (2) Lie son generadas por el álgebra de Lie dado por las tres matrices de Pauli.
Los vectores son representaciones irreductibles del álgebra de Lie SO (3), cuyas transformaciones son generadas por el álgebra de Lie dado por las tres matrices de rotación.