En primer lugar, es completamente poco práctico. La frecuencia angular de la tierra [matemáticas] w = 7.3 \ veces 10 ^ {- 5} \ text {s} ^ {- 1} [/ matemáticas], y la velocidad de un objeto giratorio a una distancia r del eje es [ matemáticas] v = wr [/ matemáticas]. Si establecemos [matemática] v = c [/ matemática] (la velocidad de la luz), obtenemos [matemática] R = c / w = ~ 4e12m [/ matemática], o alrededor de 4 mil millones de kilómetros.
Pero … esta pregunta es en realidad mucho más interesante de lo que inicialmente pensé.
La parte interesante es que es menos imposible de lo que piensas, y en principio no requiere una varilla infinitamente fuerte (solo una extremadamente fuerte poco realista). La razón habitual por la que las cosas no pueden ir a la velocidad de la luz es que la masa aumenta hasta el infinito a medida que la velocidad se acerca a la velocidad de la luz. Si algo tiene masa infinita, entonces se necesita energía infinita para acelerarlo. En este caso, sin embargo, solo el extremo de la barra va a la velocidad de la luz. Si solo aceleramos la barra de modo que un bit infinitesimal en el extremo de la barra vaya a la velocidad de la luz y el resto de la barra sea más lenta, entonces la masa total de la barra permanecerá finita.
- Si 0.99999 ... es igual a 1, ¿sería 0.99999 ... 'c' igual a 1'c '(donde' c 'es la velocidad de la luz)?
- ¿Cómo detectamos la vida que comenzó al mismo tiempo que nosotros pero a muchos años luz de nosotros?
- Si algo comenzara a acelerar y nunca se detuviera, ¿cuánto tiempo le tomaría al objeto alcanzar la velocidad de la luz?
- ¿Cuánto tiempo tomaría viajar 40 años luz, dado que el tiempo se mueve de manera diferente a altas velocidades? ¿Realmente tomaría generaciones para las personas a bordo, o el tiempo se movería más lento debido a su velocidad?
- ¿Un objeto que viaja a la velocidad de la luz lejos del espejo formará su imagen en ese espejo?
Sin embargo, el extremo de la barra no puede ir más rápido que la velocidad de la luz, y solo una fracción infinitesimal de la barra puede ir a la velocidad de la luz. En realidad, la materia está hecha de partículas con masa discreta, por lo que ninguna de las partículas puede ir a la velocidad de la luz (las partículas no son infinitamente pequeñas), pero una de ellas podría acercarse.
No quiero explicar todas las matemáticas en detalle, pero aquí está la idea. Tiene una varilla con masa por longitud [matemática] m_0 [/ matemática] (cuando está estacionaria). Según la relatividad, la masa que viaja a velocidad [matemática] v [/ matemática] está relacionada con la masa en reposo [matemática] m_0 [/ matemática] por [matemática] m = m_0 / (1-v ^ 2 / c ^ 2) ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]. Para obtener la masa total de la barra, solo integramos de [math] r = 0 [/ math] a [math] r = R = c / w [/ math]. Esto da el resultado algo sorprendente de [matemáticas] M = \ frac {\ pi} {2} m_0 R [/ matemáticas]. Esto solo difiere de la masa total en reposo [matemática] (m_0 R) [/ matemática] por un factor de [matemática] \ frac {pi} {2} [/ matemática], o alrededor de 1.6. Esto se debe a que solo el extremo de la barra se desplaza lo suficientemente cerca de c como para que la relatividad sea importante.
En cuanto a la energía requerida para acelerar la barra, puede calcular el momento de inercia de la barra usando una integral similar: integrar de [matemática] r = 0 [/ matemática] a [matemática] r = R = c / w [/ matemática], de [matemática] m_0 * r ^ 2 / (1-v ^ 2 / c ^ 2) ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemática]. Esto da un momento de inercia [matemática] I = \ pi m_0 R ^ 3/4 [/ matemática]. Esto es grande, pero no infinito. Enchufar números (tomé [matemáticas] m_0 = 1 kg / m [/ matemáticas], que es bastante ligero, pero de todos modos no es realista), obtengo la energía rotacional [matemáticas] E = I w ^ 2/2 = 1.4 \ veces 10 ^ {29} \ text {J} [/ math]. Esto se puede comparar con la energía rotacional de la tierra [matemáticas] E = 1.6 \ veces 10 ^ {30} \ text {J} [/ matemáticas]. Entonces, si realmente puede hacer esta caña de 4 mil millones de km a 1 kg / m, entonces solo tomará aproximadamente el 10% de la energía de la tierra. Tenga en cuenta que la barra es mucho más ligera que la tierra (por un factor de aproximadamente un billón): [matemática] m_0 * R = 4 \ por 10 ^ {12} \ text {kg} [/ matemática], masa de tierra = 6e24 kg. Sin embargo, la varilla podría tener problemas si choca con algún planeta o el sol.
Actualizado para abordar el comentario a continuación sobre lo que sucede con la rotación de la tierra a medida que aumenta la longitud de la barra:
Respuesta corta: la velocidad angular del sistema tierra / varilla se aproxima a cero asintóticamente, lo que puede deberse o no a un efecto relativista, dependiendo de la masa / longitud de la varilla.
Mediante la conservación del momento angular, el momento angular del sistema tierra / varilla permanecerá constante. El momento angular de la tierra solo es L = I_e w_0, donde I_e es el momento de inercia de la tierra, y w_0 es la velocidad angular normal de la rotación de la tierra. I_e = (2/5) m_e R_e ^ 2, donde m_e es la masa de la tierra y R_e es el radio de la tierra (esto se aproxima a la tierra como una esfera uniforme). Suponiendo que la barra es continua (no está hecha de partículas discretas), entonces entiendo que el momento de inercia I_r de la barra con longitud R es
I_r = (1/2) m_0 (c / w) ^ 3 [Arctan ((wR / c) / Sqrt (1- (wR / c) ^ 2)) – (wR / c) Sqrt (1- (wR / c) ^ 2)].
Aunque no es obvio a partir de la ecuación, I_r es una función monótonamente creciente de R. Cuando wR / c << 1, esto se reduce al momento clásico de inercia I_r = m_0 R ^ 3 / 3. Cuando wR / c se acerca a 1, I_r se acerca a pi m_0 (c / w) ^ 3/4.
Entonces, ¿qué sucede si comenzamos a extender la barra? De la conservación del momento angular obtenemos que la velocidad angular es w = w_0 I_e / (I_e + I_r). Cuando I_r <> I_e, entonces w asintóticamente se acerca a cero (la rotación de la tierra se detiene). Hay dos cosas que pueden suceder: 1. I_r puede superar a I_e mientras todavía está firmemente en el régimen clásico, es decir, la tierra puede ralentizarse drásticamente sin ningún efecto relativista. Esto es solo el efecto de un patinador de hielo que gira extendiendo o retirando sus brazos. 2. Si I_r es aún mucho menor que I_e cuando wR ~ c, entonces los efectos relativistas se vuelven importantes. Esto es lo que creo que sucede en este caso: empujas la barra hasta una longitud R ~ c / w, con pocos cambios en w. Si intentas empujar la barra más lejos, la masa, y por lo tanto I_r, comienza a aumentar dramáticamente con cualquier aumento en R (incluso empujar un átomo a R = c / w haría que I_r sea infinito). Entonces, al aumentar I_r de esta manera, I_r excede rápidamente I_e, y w comienza a disminuir. Una vez que w comienza a disminuir, ya no satisface la condición wR ~ c, y puede empujar la barra más hasta que wR ~ c. En este punto, la corrección relativista vuelve a ser grande y w disminuye aún más. Por supuesto, esta disminución de w ocurre continuamente a medida que aumenta R. Esencialmente, hay un límite de cuán lejos puede empujar la barra: R = c / w. Si empuja la barra más lejos, entonces w debe disminuir. En este caso, w se aproxima a cero asintóticamente. A medida que w se aproxima a cero, puede seguir empujando la varilla todo el tiempo que desee.
Conectando números, entiendo que los efectos relativistas solo serán dominantes si m_0 <4 kg / m. De lo contrario, la rotación de la tierra irá efectivamente a cero sin que el extremo de la barra se acerque a la velocidad de la luz.
