Cuando aplica el teorema de Noether al lagrangiano del electromagnetismo, encuentra una carga de Noether conservada que es solo la carga electromagnética normal. La ley de conservación local que cumple es
[matemáticas]
g ^ {ab} \ nabla_a J_b = 0
[/matemáticas]
donde [math] \ nabla_a [/ math] es la derivada covariante, y [math] J_a [/ math] es el 4-vector actual. Esto generalmente se escribe como
[matemáticas]
\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} = \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {J}
[/matemáticas]
en espacio-tiempo plano, haciendo una división 3 + 1.
Al integrar esta ley de conservación local en todo el espacio (en un tiempo fijo), se encuentra la conservación global de la carga eléctrica, [math] \ frac {dQ} {dt} = 0 [/ math].
Además de utilizar el teorema de Noether para encontrar esta ley de conservación, podría encontrarla “accidentalmente” al observar (la mitad de) las ecuaciones de Maxwell en forma covariante:
[matemáticas]
g ^ {ab} \ nabla_a F_ {bc} = J_c
[/matemáticas]
donde el tensor de intensidad de campo [matemática] F_ {ab} [/ matemática] es una forma 2 antisimétrica (al realizar una división 3 + 1 y descomponerse en partes de vector y pseudovector, esto se convierte respectivamente en los campos eléctrico y magnético). Tomando otra derivada covariante de esta ecuación de movimiento y contrayendo en el índice libre anterior (y renombrando índices),
[matemáticas]
\ nabla ^ a \ nabla ^ b F_ {ab} = \ nabla ^ a J_a.
[/matemáticas]
Debido a la antisimetría de [math] F_ {ab} [/ math], el lado izquierdo de la ecuación anterior es idénticamente 0 (¡incluso en un espacio-tiempo curvo, donde las derivadas covariantes no conmutan!).
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Finalmente, aunque no es una carga de Noether, existe otra “ley de conservación” que sigue el campo electromagnético, que es solo la otra mitad de las ecuaciones de Maxwell. Esta ecuación es
[matemáticas]
\ nabla _ {[a} F_ {bc]} = 0
[/matemáticas]
donde los corchetes significan antisimetrización completa de los índices. Esta es en realidad la “identidad de Bianchi en la curvatura del haz electromagnético U (1)”, si realmente te importan esas cosas.
