¿Qué tan bueno en matemáticas era Paul Dirac?

Increíble.

Dirac tenía una comprensión de las matemáticas que no tenía rival para la mayoría de los físicos, aparte de von Neumann (quien fue quizás el mayor polímata de este siglo) y Witten. Tenía una capacidad asombrosa para prever algunos de los grandes descubrimientos matemáticos del siglo XX, excepto que los descubrió mientras investigaba cuidadosamente la teoría del campo cuántico. Aquí están algunos ejemplos:

  • Los monopolos de Dirac y las clases de Chern: los monopolos de Dirac surgen cuando los defectos topológicos en el espacio-tiempo hacen que la ecuación de Maxwell [matemáticas] \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 [/ matemáticas] sea imposible de satisfacer. Dirac tenía una muy buena comprensión de la intuición detrás de los defectos / obstrucciones topológicas y en su artículo seminal, Singularidades cuantizadas en el campo electromagnético , encontró efectivamente el primer ejemplo de una clase de Chern. Una clase de Chern es una clase característica específica (compleja) (es decir, una asignación específica [matemática] M \ rightarrow H ^ {\ bullet} (M) [/ matemática] para una variedad compleja [matemática] M [/ matemática]) que se puede usar para responder preguntas topológicas relacionadas con la curvatura intrínseca de un espacio. La intuición de Dirac precedió a la definición formal de Chern de la clase de Chern en aproximadamente veinte años. De hecho, uno de mis asesores me dijo que en una conferencia en Stony Brook a fines de los años 70, Chern habló de cómo los descubrimientos de Dirac lo inspiraron a considerar los objetos que luego se conocerían como formas de Chern-Simons . Una buena guía para principiantes sobre esta relación entre física y geometría es [0].
  • Soporte de Dirac y geometría compleja generalizada: de alguna manera di una explicación técnica de esto en la pregunta, ¿Cuál es el soporte de Dirac en lenguaje geométrico? Efectivamente, Dirac encontró una generalización de múltiples simplécticos (sin darse cuenta) que ha resultado ser de gran interés en la geometría diferencial contemporánea.
  • La función Dirac [matemáticas] \ delta [/ matemáticas] y la Medida Dirac: Ah, el famoso ejemplo que ha enseñado a una generación de físicos a decirles a los matemáticos que están perdiendo el tiempo estudiando análisis. Dirac se dio cuenta de las limitaciones de considerar las funciones de onda y los paquetes de onda que eran funciones “verdaderas”. Él audazmente introdujo la función Dirac [matemáticas] \ delta [/ matemáticas], que llevó a 30 años de intensa investigación matemática para explicar su existencia. Por supuesto, Laurent Schwartz ganó la Medalla Fields por construir el marco general para la medida de Dirac (que técnicamente es la función [matemática] \ delta [/ matemática]) y ahora tenemos una comprensión mucho más amplia del análisis funcional involucrado en la mecánica cuántica no relativista .
  • La curiosa incursión de Dirac en el estudio de las quínticas: este es uno de los esfuerzos matemáticos más curiosos de Dirac. En 1936, Dirac escribió un artículo en Annals of Mathematics [1] titulado Ecuaciones de onda en el espacio conforme . Este documento contiene algunos resultados familiares para aquellos que estudian la teoría de cuerdas o la teoría de campos conformales y en este documento, Dirac estudia las propiedades de una ecuación quíntica específica. Es interesante notar que su discusión se acerca bastante al famoso quintic Calabi-Yau. Por otra parte, Dirac habla de los hiladores en el espacio-tiempo curvo y sugiere algunas restricciones topológicas [2]. Creo que el documento fue antes de tiempo en el que se pueden encontrar muchos documentos CFT de años posteriores que reproducen muchos de estos resultados. ¡Es sorprendente que Dirac haya tenido la previsión de considerar teorías de campo conforme incluso antes de que se inventara la renormalización!

Nos dejaré con mi cita favorita de Dirac de Singularidades cuantizadas en el campo electromagnético:

El progreso constante de la física requiere para su formulación teórica una matemática que sea cada vez más avanzada. Esto es natural y
se espera. Lo que, sin embargo, no era esperado por los trabajadores científicos
del siglo pasado fue la forma particular que la línea de avance de
tomarían las matemáticas, es decir, se esperaba que las matemáticas
se volvería cada vez más complicado, pero descansaría en un permanente
base de axiomas y definiciones, mientras que los desarrollos físicos modernos han requerido una matemática que continuamente cambia sus fundamentos y se vuelve más abstracta. Se ha descubierto que la geometría no euclidiana y el álgebra no conmutativa, que alguna vez se consideraron puramente ficciones de la mente y los pasatiempos para los pensadores lógicos, ahora son muy necesarios para la descripción de los hechos generales del mundo físico. Parece probable que este proceso de abstracción creciente continúe en el futuro y que el avance en física se asocie con una continua modificación y generalización de los axiomas en la base de las matemáticas en lugar de con un desarrollo lógico de cualquier esquema matemático en Una base fija.

[0] Geometría, topología y física, M. Nakahara
[1] ¡Esto debería ser un buen indicador de la destreza matemática de Dirac, en sí misma!
[2] En el lenguaje moderno, esta restricción es simplemente que la primera clase Stiefel-Whitney desaparece, es decir, [matemáticas] w_1 (M) = 0 [/ matemáticas]

Solo para señalar algo que el Usuario de Quora no hizo, ocupó la cátedra Lucasian de matemáticas en Cambridge durante más de 37 años, eso solo significa que era bueno en matemáticas.

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