Hay dos claves para comprender la respuesta a esta pregunta (que es una buena, por cierto), y son a) el tiempo adecuado yb) la velocidad de cuatro. El tiempo apropiado, como cualquier cosa en física, tiene tanto una definición matemática como una interpretación física. Discutiré la interpretación física, ya que la definición matemática no es más que el producto de reemplazar las palabras físicas con los objetos matemáticos correctos.
Supongamos que tenemos una partícula (clásica, partícula puntual) que se mueve a través del espacio-tiempo. Su viaje a través del espacio-tiempo barrerá un camino, de modo que si, por ejemplo, el objeto está en reposo (en algún marco), su camino será solo una línea recta en la dirección del tiempo (en este marco). Sin embargo, para algún otro observador que no esté en reposo en relación con esta partícula, la partícula parecerá estar en movimiento, y las dilataciones de tiempo posteriores que son el pan de cada día de la relatividad ahora son relevantes. Por lo tanto, entre dos eventos en la trayectoria de la partícula a través del espacio-tiempo, nuestros dos observadores diferentes (la partícula y el observador que se mueve con respecto a ella) registrarán diferentes cantidades de tiempo transcurrido en sus respectivos cuadros. Como, como dijiste, la velocidad tiene que ver con el “cambio de algo con respecto al tiempo”, y dado que en esta situación el tiempo no está definido objetivamente entre todos los cuadros, parece que tenemos un problema.
Pero nosotros no. Lo que hacemos es definir el tiempo adecuado a lo largo de un camino para que sea la cantidad de tiempo que la partícula misma experimenta. Es decir, si estuviera montado en la parte posterior de la partícula y usando un reloj de pulsera, el tiempo adecuado entre dos eventos sería la cantidad de tiempo transcurrido en su reloj. Esta es una noción invariante de Lorentz. Es decir, esta es una noción que todos los observadores pueden definir objetivamente. Es decir, si me muevo en relación con usted (en la partícula) de una manera, y algún otro observador se mueve con respecto a usted de una manera diferente, ambos acordaremos la cantidad de tiempo adecuado que ha transcurrido, ya que Ambos tendrían que calcular esta cantidad en su marco. Esto es sutil y puede parecer una salida de policía, pero no lo es (una salida de policía, aunque es sutil). La moraleja de la historia es que dos observadores calcularán el mismo tiempo apropiado que usted experimenta, ya que esta cantidad está perfectamente bien definida. Finalmente, el tiempo adecuado es un parámetro invariable que hace un seguimiento de dónde se encuentra en su trayectoria. Por lo tanto, si me entregaste una trayectoria vista únicamente como un conjunto de puntos conectados en el espacio-tiempo, y si me dijiste que estaba parametrizada por algo, y luego me diste un valor de este parámetro, puedo ir a buscarte en esa trayectoria , y todos los demás observadores también podrían hacerlo.
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Ahora podemos entender las cuatro velocidades. Digamos que las coordenadas que ha establecido son [matemáticas] (t, x, y, z) [/ matemáticas] (donde he establecido la velocidad de la luz en 1 para que no tenga que seguir escribiendo c en todas partes. Como soy un observador que se mueve en relación con usted, voy a tener diferentes coordenadas, llamémoslas [matemáticas] (t ‘, x’, y ‘, z’) [/ matemáticas]. Finalmente, digamos que es correcto el parámetro de tiempo está etiquetado por [math] \ tau [/ math]. El vector de cuatro velocidades de su movimiento a través del espacio-tiempo viene dado por el vector cuyos componentes son las derivadas de estas coordenadas con respecto al tiempo apropiado [math] \ tau [/ math]. En nuestros respectivos sistemas de coordenadas, las componentes del vector de cuatro velocidades que escribimos serán diferentes, pero su magnitud será la misma para ambos, utilizando el hecho de que nuestras coordenadas deben estar relacionadas por una transformación de Lorentz ( que es lo que la relatividad especial dice que debe suceder) Además, la magnitud del vector de cuatro velocidades siempre será 1.
No entraré en los detalles matemáticos, pero el punto importante es que existe una noción de tiempo bien definida que puede usarse para definir una generalización de la velocidad en cuatro dimensiones. Esta velocidad tiene todas las propiedades que queremos, que son a) comportamiento adecuado bajo transformaciones de Lorentz yb) comportamiento adecuado cuando restringimos de nuevo a tres dimensiones. Todo lo que teníamos que hacer era pensar un poco más sobre cuál era el tipo de tiempo correcto para estas definiciones.
En una nota final, su métrica sobre el espacio-tiempo es correcta, excepto que debe haber un signo menos delante del componente de tiempo (o un signo menos delante de los tres componentes espaciales). Es decir, la métrica es [matemáticas] -t ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 [/ matemáticas] de modo que a) las distancias pueden ser negativas yb) la distancia entre dos puntos distintos puede ser cero . Este signo menos es crucial, y los detalles de por qué todo esto debe suceder de esta manera están más allá del alcance de una respuesta corta como esta.
