¿Alguien puede explicar en detalle la interacción de intercambio repulsivo entre dos electrones en el mismo orbital?

La primera pregunta es, ¿qué quieres decir con el mismo orbital?

Abordaré el caso que se describe a continuación:

El mismo orbital significa la misma función de onda espacial, centrada en el mismo núcleo.

No hay interacción de intercambio que nunca.

Deje que [math] {\ psi} _0 [/ math] sea la función de onda espacial para el orbital, y [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math] representan los estados de giro hacia arriba y hacia abajo respectivamente .
Para dos electrones [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] 2 [/ matemática], la única función de onda posible es [matemática] \ Psi = \ frac {1} {\ sqrt {2}} {\ psi} _0 ( 1) {\ psi} _0 (2) (\ alpha (1) \ beta (2) – \ alpha (2) \ beta (1)) [/ math], da o toma una fase.

Esto se debe a que las funciones de onda de un solo electrón son [matemáticas] {\ psi} _0 (i) \ alpha (i) [/ matemáticas] y [matemáticas] {\ psi} _0 (i) \ beta (i) [/ matemáticas], [matemáticas] i \ en {1,2} [/ matemáticas]. La función de onda neta debe ser antisimétrica con respecto al intercambio de dos electrones (que son Fermiones), eliminando la parte espacial de cualquier función de onda donde los giros no se cancelan (siéntase libre de hacer combinaciones que sean antisimétricas).

Ahora, el hamiltoniano carece de términos de giro (generalmente, si ignoramos todo el acoplamiento de órbita de giro, etc., que realmente no juega un papel aquí, debido a su pequeño tamaño). Así [matemáticas] \ langle \ hat {H} \ rangle [/ math] = [matemáticas] \ frac {1} {2} (\ langle \ alpha (1) \ beta (2) – \ alpha (2) \ beta (1) | \ alpha (1) \ beta (2) – \ alpha (2) \ beta (1) \ rangle) [/ math] [math] (\ langle
{\ psi} _0 (1) {\ psi} _0 (2) | \ hat {H} | {\ psi} _0 (1) {\ psi} _0 (2) \ rangle) [/ math], y las partes de giro simplemente se normalizan sin ningún problema, dejando solo la parte espacial para afectar la energía.

Por lo tanto, no hay efecto de cambio en absoluto.

Sin embargo, si los dos orbitales [matemática] \ psi_1 [/ matemática] y [matemática] \ psi_2 [/ matemática] están separados espacialmente (tienen una superposición [matemática] \ langle \ psi_1 | \ psi_2 \ rangle [/ matemática] eso es no unidad), podríamos ver un efecto de cambio.

Son posibles dos orbitales antisimétricos netos,
[matemáticas] \ Psi_1 = \ frac {1} {2} ({\ psi} _1 (1) {\ psi} _2 (2) + {\ psi} _1 (2) {\ psi} _2 (1)) [ / matemáticas] [matemáticas] (\ alpha (1) \ beta (2) – \ alpha (2) \ beta (1)) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Psi_2 = \ frac {1} {2} ({\ psi} _1 (1) {\ psi} _2 (2) – {\ psi} _1 (2) {\ psi} _2 (1)) [ / matemáticas] [matemáticas] (\ alpha (1) \ beta (2) + \ alpha (2) \ beta (1)) [/ matemáticas]

Uno tiene una parte simétrica espacial, otro tiene una parte antisimétrica espacial. Las partes de giro se normalizan a cero, pero las partes espaciales conducirán a intercambiar términos en la integral ([matemática] \ langle {\ psi} _1 (1) {\ psi} _2 (2) | \ hat {H} | { \ psi} _1 (2) {\ psi} _2 (1) \ rangle [/ math], donde se intercambian las etiquetas 1 y 2) además de la normal [math] \ langle {\ psi} _1 (1) {\ psi} _2 (2) | \ hat {H} | {\ psi} _1 (1) {\ psi} _2 (2) \ rangle [/ math] términos.