El momento angular tiene 3 componentes:
[matemáticas] L_x, L_y, L_z [/ matemáticas].
Estas tres cantidades son la cantidad de momento angular sobre el eje [matemático] x [/ matemático], [matemático] y [/ matemático], [matemático] z [/ matemático], respectivamente.
Así que aquí hay una foto de una pelota que gira sobre diferentes ejes: /main-qimg-e0e4900cec86212ce1c660c82ded122d.png)
El primero muestra una bola girando sobre el eje [matemático] z [/ matemático], el segundo es una bola girando alrededor del eje [matemático] x [/ matemático], y el tercero muestra una bola girando alrededor de un eje intermedio los [math] z [/ math] y [math] x [/ math] -axes.
Bien, hasta ahora todo ha sido física clásica. Debido a las maravillas del principio de incertidumbre de Heisenberg, no se pueden especificar simultáneamente los tres componentes del momento angular en la mecánica cuántica (es similar a tratar de especificar la posición y el momento al mismo tiempo). Lo mejor que puede hacer es especificar la cantidad total de momento angular que es
[matemáticas] L ^ 2 = L_x ^ 2 + L_y ^ 2 + L_z ^ 2 [/ matemáticas]
y un componente del momento angular, que históricamente tomamos como la cantidad de momento angular sobre la [matemática] L_z [/ matemática] que a veces llamamos el momento angular azimutal.
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Ahora queda bastante claro que [math] | L_z | \ le \ sqrt {L ^ 2} [/ math].
En la mecánica cuántica, el momento angular se cuantifica para que tome valores enteros (el spin puede tomar valores de medio entero, pero no obstante cuantificado). Llamamos a estos valores cuantificados “números cuánticos”. Entonces, hay un número cuántico de momento angular total, [math] \ ell [/ math] y el momento angular es
[matemáticas] L ^ 2 = \ ell (\ ell + 1) \ hbar ^ 2 [/ matemáticas].
El número cuántico de momento angular azimutal, [matemática] m [/ matemática] y el momento angular azimutal es
[matemáticas] L_z = m \ hbar [/ matemáticas].
Las restricciones sobre los valores que estos números cuánticos pueden tomar en valores son
- [matemáticas] \ ell \ ge 0 [/ matemáticas]
- [matemáticas] – \ ell \ le m \ le \ ell [/ matemáticas] [*]
Por lo tanto, si comenzamos a enumerar los estados de momento angular más bajos
- [matemáticas] \ ell = 0, m = 0 [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ ell = 1, m = -1, 0, + 1 [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ ell = 2, m = -2, -1, 0, +1, +2 [/ matemáticas]
- etc.
[*] Bien, ahora puedes notar [matemática] | L_z | \ le \ sqrt {L ^ 2} [/ matemática], aunque es cierto, nunca puedes poner todo tu momento angular en una dirección: elige el angular máximo azimutal impulso, [matemáticas] m = \ ell [/ matemáticas], entonces
[matemática] L ^ 2 -L_z ^ 2 = \ ell (\ ell + 1) \ hbar ^ 2 – \ ell ^ 2 = \ ell \ hbar ^ 2> 0 [/ matemática]
y si definimos la dirección a la que apunta el momento angular en relación con el eje z , el ángulo viene dado por
[matemáticas] \ sin ^ 2 \ theta = \ frac {L ^ 2 – L_z ^ 2} {L ^ 2} = \ frac {1} {\ ell + 1} [/ matemáticas]
Por lo tanto, para [matemática] \ ell = 1 [/ matemática], lo mejor que puede alinear es el ángulo angular del momento es de 45 grados, y para [matemática] \ ell = 2 [/ matemática], es de 35 grados y para [ math] \ ell = 3 [/ math] es de 30 grados. Estos son algunos de los resultados divertidos de la mecánica cuántica del momento angular y por qué un curso típico de mecánica cuántica pasa un mes en el momento angular.
