tl; dr: si el núcleo tuviera 1 pie de diámetro, el electrón se encontraría (en el estado de energía más bajo) a un promedio de 10 millas de distancia.
Me gustan todas las respuestas aquí. Sentí que podríamos ser un poco más concisos. (También creo que la respuesta de Patrick Reilly está desactivada por un factor de 10? Tal vez lo estoy. Alguien verifica dos veces). Átomo de hidrógeno: consulte la sección sobre función de onda para conocer su función de onda.
Queremos calcular la siguiente cantidad:
[matemáticas] \ langle r \ rangle = \ iiint_V \ text {d} V \ \ psi ^ * r \ psi [/ math]
Esto puede ser confuso de ver, pero permítanme mostrarles dos breves analogías.
- ¿Por cuánto son las células más grandes que los átomos?
- ¿Existe alguna relación entre los átomos en el cuerpo humano y las estrellas?
- ¿Cuál es el estado cuántico de un átomo y por qué puede ser cero y uno al mismo tiempo?
- Matemáticamente hablando, ¿es cierto que el número de combinaciones de secuencias de ADN que se basan en AGCT excederá con creces el número de átomos en el universo visible?
- ¿Es computable el nivel de energía de un átomo o molécula?
Analogia 1
[matemáticas] \ langle r \ rangle \ equiv \ langle \ psi | r | \ psi \ rangle [/ math]
y a partir de eso, podemos convertirnos en una integral con nuestra comprensión de lo que significa la notación de corchetes.
Analogia 2
Dada una distribución de probabilidad [matemática] p (x) [/ matemática], el valor promedio de una función viene dado por
[matemáticas] \ langle f (x) \ rangle = \ int \ text {d} x \ f (x) p (x) [/ math]
que es equivalente a cómo hablamos de expectativas en probabilidad en estadística.
Aquí está el código (en Mathematica)
(*n=1,2,3,...*) (*l=0,1,2,...,n-1*) (*m=-l,...,l*) Psi[r_, θ_, φ_, n_, l_, m_] := ((Sqrt[(2/(n a0))^3 (n - l - 1)!/(2 n (n + l)!)] E^(-ρ/2) ρ^ l LaguerreL[n - l - 1, 2 l + 1, ρ] SphericalHarmonicY[l, m, θ, φ]) /. ρ -> (2 r)/(n a0)) /. a0 -> 0.529;
Para asegurarnos de que anotamos la función de onda, debe normalizarse fácilmente en el estado más bajo
Integrate[ Abs[Psi[r, θ, φ, 1, 0, 0]]^2 r^2 Sin[φ], {r, 0, ∞}, {φ, 0, π}, {θ, 0, 2 π}]
que devuelve 1 para mí Entonces las cosas están bien.
En este punto, (dado que la distancia radial no depende del valor de [math] \ ell, m [/ math]), voy a construir una tabla de cuadrícula de valores posibles para el radio promedio, teniendo en cuenta que yo ‘ m dividiendo por la normalización de la función de onda. En otras palabras:
[matemáticas] \ langle r \ rangle = \ frac {\ int_0 ^ \ infty \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ \ pi \ text {d} r \ text {d} \ theta \ text {d} \ phi \ r ^ 3 \ sin \ phi \ \ left | \ psi \ right | ^ 2} {\ int_0 ^ \ infty \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ \ pi \ text {d} r \ text {d} \ theta \ text {d} \ phi \ r ^ 2 \ sin \ phi \ \ left | \ psi \ right | ^ 2} [/ math]
que es lo mismo que escribir
[matemáticas] \ langle r \ rangle = \ frac {\ langle \ psi | r | \ psi \ rangle} {\ langle \ psi | \ psi \ rangle} [/ math]
donde [matemáticas] | \ psi \ rangle \ equiv \ psi (r, \ theta, \ phi, n, \ ell, m) [/ matemáticas]. Entonces hago una tabla y la formateo en una cuadrícula:
Table[{{n, l, m}, Integrate[ r Abs[Psi[r, θ, φ, n, l, m]]^2 r^2 Sin[φ], {r, 0, ∞}, {φ, 0, π}, {θ, 0, 2 π}]/ Integrate[ Abs[Psi[r, θ, φ, n, l, m]]^2 r^2 Sin[φ], {r, 0, ∞}, {φ, 0, π}, {θ, 0, 2 π}]}, {n, 1, 3}, {l, 0, n - 1}, {m, -l, l}]~Grid~{Frame -> All}
que salidas
Observando que definí [matemáticas] a_0 = 0.529 \ AA [/ matemáticas] (angstroms). Entonces, estos números reportados aquí están en términos de angstroms. La función de onda del estado fundamental tiene al electrón una distancia promedio de 0.7935 angstroms desde el núcleo. Un núcleo de hidrógeno tiene 1.5 femtómetros. El electrón se encuentra a una distancia ~ 50,000 veces más grande que el núcleo mismo.