¿Cuál es la distancia promedio de un solo electrón en el primer orbital de un átomo de hidrógeno, en relación con el tamaño del núcleo?

tl; dr: si el núcleo tuviera 1 pie de diámetro, el electrón se encontraría (en el estado de energía más bajo) a un promedio de 10 millas de distancia.

Me gustan todas las respuestas aquí. Sentí que podríamos ser un poco más concisos. (También creo que la respuesta de Patrick Reilly está desactivada por un factor de 10? Tal vez lo estoy. Alguien verifica dos veces). Átomo de hidrógeno: consulte la sección sobre función de onda para conocer su función de onda.

Queremos calcular la siguiente cantidad:
[matemáticas] \ langle r \ rangle = \ iiint_V \ text {d} V \ \ psi ^ * r \ psi [/ math]
Esto puede ser confuso de ver, pero permítanme mostrarles dos breves analogías.


Analogia 1

[matemáticas] \ langle r \ rangle \ equiv \ langle \ psi | r | \ psi \ rangle [/ math]
y a partir de eso, podemos convertirnos en una integral con nuestra comprensión de lo que significa la notación de corchetes.

Analogia 2

Dada una distribución de probabilidad [matemática] p (x) [/ matemática], el valor promedio de una función viene dado por
[matemáticas] \ langle f (x) \ rangle = \ int \ text {d} x \ f (x) p (x) [/ math]
que es equivalente a cómo hablamos de expectativas en probabilidad en estadística.


Aquí está el código (en Mathematica)

(*n=1,2,3,...*) (*l=0,1,2,...,n-1*) (*m=-l,...,l*) Psi[r_, θ_, φ_, n_, l_, m_] := ((Sqrt[(2/(n a0))^3 (n - l - 1)!/(2 n (n + l)!)] E^(-ρ/2) ρ^ l LaguerreL[n - l - 1, 2 l + 1, ρ] SphericalHarmonicY[l, m, θ, φ]) /. ρ -> (2 r)/(n a0)) /. a0 -> 0.529; 

Para asegurarnos de que anotamos la función de onda, debe normalizarse fácilmente en el estado más bajo

 Integrate[ Abs[Psi[r, θ, φ, 1, 0, 0]]^2 r^2 Sin[φ], {r, 0, ∞}, {φ, 0, π}, {θ, 0, 2 π}] 

que devuelve 1 para mí Entonces las cosas están bien.

En este punto, (dado que la distancia radial no depende del valor de [math] \ ell, m [/ math]), voy a construir una tabla de cuadrícula de valores posibles para el radio promedio, teniendo en cuenta que yo ‘ m dividiendo por la normalización de la función de onda. En otras palabras:
[matemáticas] \ langle r \ rangle = \ frac {\ int_0 ^ \ infty \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ \ pi \ text {d} r \ text {d} \ theta \ text {d} \ phi \ r ^ 3 \ sin \ phi \ \ left | \ psi \ right | ^ 2} {\ int_0 ^ \ infty \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ \ pi \ text {d} r \ text {d} \ theta \ text {d} \ phi \ r ^ 2 \ sin \ phi \ \ left | \ psi \ right | ^ 2} [/ math]
que es lo mismo que escribir
[matemáticas] \ langle r \ rangle = \ frac {\ langle \ psi | r | \ psi \ rangle} {\ langle \ psi | \ psi \ rangle} [/ math]
donde [matemáticas] | \ psi \ rangle \ equiv \ psi (r, \ theta, \ phi, n, \ ell, m) [/ matemáticas]. Entonces hago una tabla y la formateo en una cuadrícula:

 Table[{{n, l, m}, Integrate[ r Abs[Psi[r, θ, φ, n, l, m]]^2 r^2 Sin[φ], {r, 0, ∞}, {φ, 0, π}, {θ, 0, 2 π}]/ Integrate[ Abs[Psi[r, θ, φ, n, l, m]]^2 r^2 Sin[φ], {r, 0, ∞}, {φ, 0, π}, {θ, 0, 2 π}]}, {n, 1, 3}, {l, 0, n - 1}, {m, -l, l}]~Grid~{Frame -> All} 

que salidas
Observando que definí [matemáticas] a_0 = 0.529 \ AA [/ matemáticas] (angstroms). Entonces, estos números reportados aquí están en términos de angstroms. La función de onda del estado fundamental tiene al electrón una distancia promedio de 0.7935 angstroms desde el núcleo. Un núcleo de hidrógeno tiene 1.5 femtómetros. El electrón se encuentra a una distancia ~ 50,000 veces más grande que el núcleo mismo.

TL; DR: el electrón estaría en promedio a un poco más de 10 millas del protón dada la escala de los detalles de la pregunta.
(Gracias a Giordon Stark por detectar mi error: los valores de [math] a_0 [/ math] y el radio de carga del protón a continuación son correctos, pero debo haber omitido un cero en algún lugar al calcular la relación de los dos …)

En mecánica cuántica, esta “distancia promedio” se convierte en el “valor esperado” de la posición, representada por . Es, en la interpretación apropiada, el valor promedio de la posición del electrón, un promedio tomado sobre una gran cantidad de átomos de hidrógeno con electrones individuales.
[matemáticas]
= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi ^ * (r, \ theta, \ phi, t) \; r \; \ psi (r, \ theta, \ phi, t) dr [/ math]
Esta es la fórmula genérica para un valor esperado en la mecánica cuántica. La fórmula específica para un solo electrón en un orbital alrededor de un núcleo de hidrógeno, donde la función de onda, psi, describe el electrón es, como Mark Eichenlaub señala correctamente:
[matemáticas]
= 4 \ pi \ int_ {0} ^ {\ infty} \ psi ^ * (r, \ theta, \ phi, t) \; r \; \ psi (r, \ theta, \ phi, t) r ^ 2dr [/ math].

Observe cómo la integral tiene límites específicos (0 a infinito), porque la distancia radial r no puede ser negativa, y la integral se ha transformado ligeramente con los términos 4pi y r ^ 2, términos utilizados para indicar una integral variable única a lo largo de la dirección radial solamente. Por lo tanto, la fórmula genérica se transforma en esta fórmula específica ajustando los límites de la integral a lo que tiene sentido para la pregunta, y teniendo en cuenta los términos theta y phi junto con la elección de coordenadas esféricas (con 4pi r ^ 2).

En cuanto a los números reales, Daniel Walker ha hecho el cálculo por usted. Además, uno puede reconocer que este valor es, con toda practicidad, el radio de Bohr. El radio de Bohr se define como:

Donde [math] \ epsilon_0 [/ math] es la permitividad del espacio libre, [math] \ hbar [/ math] es la constante reducida de Planck, [math] m_e [/ math] es la masa de un electrón, [math] e [/ math] es la carga elemental, [math] c [/ math] es la velocidad de la luz en el vacío, y [math] \ alpha [/ math] es la constante de estructura fina.

Al ingresar valores de la 90a edición del Manual de Química y Física del CRC (utilizando la primera versión, evitando la constante estructura fina debido al hecho de que esta edición del Manual del CRC informa un valor erróneo de CODATA 2006), obtenemos:

Para comparar este valor con el radio del núcleo de un átomo de hidrógeno (es decir, el radio de un protón), debemos usar el “radio de carga” del protón, ya que el protón no tiene un límite definido. Según la CODATA de 2010, el radio de carga de un protón es 0.8775 (51) * 10 ^ -15 m. Haciendo una relación directa entre los dos, encontramos que el radio de Bohr es 60305 veces mayor que el radio del núcleo. Entonces, el electrón típicamente estaría a un poco más de 10 millas de distancia del protón en la escala dada en la descripción .

Aquí termina la breve respuesta. Si desea obtener más información sobre cómo derivar la expresión del radio de Bohr, siga leyendo.

Nota: Stephen T. Thornton y Andrew Rex parafrasean la siguiente derivación de Modern Physics for Scientists and Engineers . Es un gran libro para enseñar algo de mecánica cuántica básica.

La expresión para el radio de Bohr puede derivarse de la fórmula del valor esperado dada la función de onda apropiada para un electrón, en este caso un electrón con números cuánticos n = 1, l = 0, m_l = 0. Para Hidrógeno, la función de onda de un electrón en un orbital tiene un componente radial, un componente angular y un componente azimutal. Tenga en cuenta que lo que llamamos “x” arriba es realmente solo r, el radio del electrón desde el protón nuclear.
[matemáticas] \ psi (r, \ theta, \ phi) = R (r) \; f (\ theta) \; g (\ phi) [/ math]
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo con potencial radial, expresada en coordenadas esféricas, es:

Entonces, sustituyendo en las derivadas apropiadas de la función de onda, obtenemos:

Luego multiplique por [math] \ frac {r ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} {Rfg} [/ math] y mueva algunos términos:

Esto aísla el componente azimutal, y podemos establecer el lado derecho igual a -m_l cuadrado, reorganizar y aislar los componentes radial y angular entre sí, suponiendo que m_l es constante.

En otro momento de establecer una constante lateral, y considerando que queremos encontrar la distancia radial de nuestro electrón, establecemos el lado derecho igual a una constante L (L + 1) (usando L para claridad, ya que no puedo calcular la vida de mí cómo obtener una secuencia de comandos minúscula L). Para facilitar las cosas, sabemos que nuestro electrón tiene L = 0, por lo tanto, configure el lado derecho igual a cero. Entonces obtenemos:

Use la magia de la regla del producto y sustituya el potencial de Coulomb de un electrón por V, y obtenemos una ODE homogénea, lineal, de segundo orden con coeficientes no constantes:

La solución estándar para un ODE homogéneo, lineal, de segundo orden con coeficientes no constantes se presenta en la forma:

Thornton y Rex expresan esta forma de manera diferente, pero revelan el secreto por su elección de variables. Seguiré su método para encontrar el valor de k, pero dado suficiente tiempo y flexibilidad con LaTeX, sería preferible resolver este ODE a través de las transformaciones de Laplace …

Entonces, para encontrar k, debemos enumerar las derivadas de nuestra R y conectarlas:
[matemáticas] \ frac {dR} {dr} = kR \; \; \; \; \; \ frac {d ^ 2R} {dr ^ 2} = k ^ 2R [/ matemáticas]

Divide ambos lados entre R y factoriza 1 / r, dando:

Ahora nos damos cuenta de que la única forma en que esta expresión puede ser verdadera para todas las r es si ambos elementos entre paréntesis son iguales a cero. Las dos constantes desconocidas aquí son E y k, y están en elementos diferentes, así que vamos a obtener k por ahora:
¿Esto te recuerda alguna expresión? ¿Qué hay de esta manera?

-1 / k es a_0, el radio de Bohr. Este es el valor esperado del componente radial de un electrón en un orbital de 1s sobre un átomo de hidrógeno, dada la restricción de que está sujeto al potencial de Coulomb (es decir, el protón y el electrón son parte de un sistema electrostático).

Uno podría ir aún más lejos en profundidad, encontrar la función de onda completa para el electrón de 1s, y luego podría calcular la integral mencionada al comienzo de la respuesta, y eso requiere aún más conocimiento de las soluciones PDE. Puede profundizar un poco más en estas aguas leyendo el texto antes mencionado de Thornton y Rex, pero incluso ese texto tiene una amplitud limitada sobre este tema.

Espero que esto no haya sido demasiado aburrido 😛

-editar-
Pido disculpas por todas las imágenes, pero a Quora no parece gustarle mis ecuaciones LaTeX, ya sea debido a que se representan como imágenes de más de 400 × 300, o tal vez alguna función no admitida. En cualquier caso, han sido reemplazados por imágenes estáticas. Notifíqueme si alguna de las otras fórmulas no se procesa correctamente.

Como un electrón en un orbital s tiene una posibilidad finita de estar a una distancia infinita de su núcleo, su valor final depende de cuán ‘promedio’ desee su promedio, pero si va con cifras aproximadas de 1 Angstrom para la distancia orbital promedio, y solo un poco menos de 0.00002 Angstroms (espero que haya suficientes ceros allí, tengo prisa), pero estás hablando aproximadamente a 6 millas de radio, para tu núcleo de 1 pie.
Editar: hacer que 10-12 millas. Creo que reduje a la mitad mi mitad.

More Interesting

¿Por qué los materiales sólidos pueden reflejar la luz cuando el espacio vacío entre los átomos es mucho más grande que un fotón?

¿Qué es la masa atómica?

¿Por qué la configuración electrónica de la valencia es un átomo de cloro 3s2 3p5 y no 3s1 3p6?

¿Cuáles son algunas teorías sobre por qué ciertas estructuras de átomos causan vida?

¿Qué fracción de los electrones debe eliminarse de la esfera para darle una carga de +2 microcoulombs?

¿La ecuación de Schrodinger no relativista para el átomo de hidrógeno solo tiene en cuenta la masa de electrones si uno elige el núcleo como marco de referencia?

Si el núcleo de un átomo de hidrógeno pudiera ampliarse al tamaño de una pelota de baloncesto, ¿cómo sería? ¿Qué pasa con su nube de electrones?

¿10 kg de agua y 10 kg de metal contienen la misma cantidad de materia y la misma cantidad de átomos?

¿Por qué hay átomos que adquieren un octeto más estable que los átomos que no lo hacen?

¿Cuántos tipos de átomos existen en todo el universo?

A nivel molecular, ¿cómo funciona cortar un objeto? Obviamente, un utensilio separará los materiales, pero ¿hay alguna energía liberada cuando esto sucede? ¿Cómo reaccionan los átomos cuando se corta un trozo de cuerda?

¿Cuáles han sido las numerosas teorías atómicas de la historia?

¿Qué métodos se utilizan para encontrar el volumen de un átomo?

¿Cuál es el espacio vacío presente en un átomo, es un vacío?

¿Qué pasaría si de repente reemplazaras el núcleo del sol con una bola de átomos de hierro del tamaño de la Tierra a 0,0001 grados Kelvin?