¿Cuándo es un átomo esféricamente simétrico?

De hecho, quiero dar un paso atrás aquí y considerar un sistema cuántico mucho más simple, el pozo infinito de potencial unidimensional, en el que digamos que la partícula está confinada entre x = -L yx = + L.

Si ha medido la energía de este sistema con precisión, entonces sabe exactamente cuál es el valor del número cuántico principal (n = 1, 2, 3, 4, …), a partir de la relación [matemáticas] E = \ frac {n ^ 2 h ^ 2} {32 m L ^ 2} [/ matemáticas]. Esto le dice que la función de onda de la partícula es una buena sinusoide que toma el valor cero en ambos extremos de la caja. (No le dice la fase, pero eso es irrelevante ya que no afectará a ningún observable). Cada uno de estos es simétrico o antisimétrico en todo el origen, de modo que los observables son simétricos en todo el origen (porque la fase desaparece una vez que usted tomar el valor absoluto al cuadrado). Entonces, una vez que haya medido la energía de la partícula, puede concluir que el sistema es simétrico .

Sin embargo, el sistema no está obligado a existir siempre en un estado propio de energía. Eso solo sucede cuando colapsas la función de onda midiendo la energía. El sistema puede existir en cualquier combinación lineal normalizada de los estados propios de energía, que forman una base ortonormal para el espacio de fase del sistema. De hecho, cualquier función de onda normalizada razonablemente agradable en la base de la posición puede expresarse de tal manera usando el análisis de Fourier. No tiene que ser simétrico. Esto se debe a que agregar una función par y una función impar generalmente produce una función que no es par ni impar, por lo que su magnitud al cuadrado ya no es simétrica. Entonces, si, por ejemplo, mide la posición de la partícula y determina que está en la mitad derecha de la caja con un 70% de probabilidad, entonces claramente el estado cuántico del sistema no es simétrico con respecto al origen.

Ahora de vuelta a los átomos. Los orbitales atómicos tradicionales similares al hidrógeno son como los estados propios de energía de la partícula en la caja. Específicamente, son estados propios simultáneamente de la energía total, la magnitud al cuadrado del momento lineal y la proyección del momento lineal en el eje z. Si mide los tres simultáneamente, obliga al átomo a existir realmente en una de esas configuraciones, lo que le permite decidir qué tan simétrico es (como señaló, simétrico esféricamente si es un orbital s ocupado, y menos de esféricamente simétrica para orbitales con l > 0). Sin embargo, suponiendo que, en cambio, haya medido algunos otros valores, como los tres componentes de la posición del electrón, sería perfectamente posible que el estado resultante tenga algún otro grupo de simetría, y tal vez no sea simétrico en absoluto. Y si solo midiera la energía del sistema, y ​​descubriera que n = 2, por ejemplo, no podría concluir nada sobre la simetría, ya que el sistema aún podría estar en cualquier combinación lineal normalizada de los 2, Orbitales 2p_x, 2p_y y 2p_z.

Los átomos que existen explícitamente en combinaciones lineales del conjunto orbital tradicional son un ingrediente esencial para la teoría de enlace de hibridación orbital. Por ejemplo, el orbital sp ^ 3 tiene el grupo de simetría del tetraedro, aunque ninguno de los orbitales sop tiene este grupo de simetría.

Obviamente, la historia es más complicada en átomos de múltiples electrones, pero esencialmente igual. Una vez que el átomo forma enlaces, por supuesto, definitivamente ya no es esféricamente simétrico.

Respuesta corta: el grupo de simetría del átomo no se puede determinar hasta que se haya realizado suficiente observación para determinar la función de onda del átomo. Dependiendo de las observaciones que se hagan, es muy posible que el átomo termine en un estado que, por ejemplo, no tenga simetría .

Siempre. Los orbitales de orden superior no rompen la simetría.

Para una esfera macroscópica perfecta, puede identificar cada punto con un conjunto de tres coordenadas, x, y y z. Por ejemplo, el punto 1,0,0 puede estar en la esfera, y así puede ser 0,0,1. Ambos puntos no son esféricamente simétricos, pero esta descomposición no hace que la esfera tenga solo tres planos especulares. También hay puntos como [math] \ sqrt2, \ sqrt2,0 [/ math] y todos los puntos juntos aún forman la esfera. Solo necesitamos tres dimensiones, porque esas tres son independientes, y cualquier cuarta no sería ortogonal a estas. Cualquier punto puede expresarse como una combinación lineal de estos tres ejes. Y convenientemente: ¡ exactamente de una manera !

Lo mismo es cierto para los orbitales. Las tres funciones px, py y pz no son las únicas direcciones. Son solo los “ejes” del sistema orbital. Puede hacer cualquier otra dirección haciendo combinaciones lineales de estas tres funciones, al igual que hacer combinaciones lineales del eje en mi primer ejemplo. Y juntas, todas esas funciones forman un átomo esférico. Solo necesitamos tres funciones p (o 5 funciones d, o 7 funciones f, etc.) para abarcar todo el espacio de funciones: estas son las únicas tres funciones ortogonales con un plano nodal, todas las demás funciones con un plano nodal se pueden expresar como una combinación lineal de estos tres Convenientemente, cada función posible se puede expresar como combinaciones lineales exactamente de una manera .

No hay ninguna razón por la cual la función de onda de un estado propio de energía del átomo de hidrógeno deba ser esféricamente simétrica, de hecho, resulta que solo los estados [matemático] l = 0 [/ matemático] tienen una simetría esférica perfecta. Sin embargo, el hecho de que el hamiltoniano del átomo de hidrógeno sea rotacionalmente invariante tiene importantes consecuencias, y es crucial para resolver los estados propios de la energía. Es fácil ver que [matemáticas] [H, L_z] = [H, L ^ 2] = 0 [/ matemáticas] (L_z es la proyección z del momento angular, y L ^ 2 es la magnitud al cuadrado del momento angular ), que nos dicen que hay una base propia simultánea de estos 3 operadores, [math] | E, l, m \ rangle [/ math]. Además, por simetría, puede separar la variable [math] r [/ math] de [math] \ theta, \ phi [/ math] para escribir [math] \ langle r, \ theta, \ phi | E, l, m \ rangle = f (r) Y_ {l, m} (\ theta, \ phi) [/ math], donde [math] Y_ {l, m} [/ math] se conoce como los armónicos esféricos . Después de todo, aunque las funciones de onda no son esféricamente simétricas, el hecho de que pueda realizar la separación de variables proviene de la simetría, porque cuando gira un vector, su componente cambia pero su magnitud no. Por cierto, por supuesto, la simetría tiene consecuencias más fundamentales, como la conservación del momento angular.

En otra nota, los armónicos esféricos tienen buenas paridades, que también provienen de cierta simetría fundamental.