Quizás sea mejor especificar que la multiplicación “escalar” es una adición glorificada. Claro 3 × 4 = 12 (3 cuatro son doce) y 3x4m = 12m (3 cuatro m son doce m), pero 3m x 4m es diferente. No puede simplemente convertirlo en una adición porque es difícil entender lo que esto significa: tres m cuatro m.
Realmente no puedes “contar” algo a menos que uses números adimensionales. Entonces, con 3m x 4m, primero escribirías 3 x 4 xmxm o 3 x 4m ^ 2 que ahora PUEDES cambiar a la suma: 4m ^ 2 + 4m ^ 2 + 4m ^ 2 (tres 4m ^ 2 son 12m ^ 2) .
Agregar una longitud a una longitud produce otra longitud, y solo puede agregar cosas “similares” juntas. No tiene sentido escribir 2m + 3m ^ 2 porque simplemente no puede agregar una longitud a un área.
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Multiplicar una longitud por una longitud va de una dimensión a dos. Multiplicar una masa por una aceleración te da algo con unidades kg xm / s ^ 2. Un tipo inteligente notó que la fuerza neta que actúa sobre un objeto es proporcional a la masa del objeto multiplicada por su aceleración (bajo ciertas condiciones) y básicamente define la fuerza de esta manera.
Somos libres de multiplicar cualquier cantidad por cualquier otra con cualquier unidad, pero no es hasta que se descubre una buena relación entre lo que hemos creado y algún fenómeno en la naturaleza que aparece algún tipo de significado.
Creo que hay otras definiciones de productos que pueden combinar cosas fundamentalmente diferentes (creo que el producto de la cuña es uno), por lo que la multiplicación común no es única en este sentido.