¿Por qué la multiplicación de dos cantidades de diferentes dimensiones físicas crea un producto con una combinación de esas dimensiones?

Quizás sea mejor especificar que la multiplicación “escalar” es una adición glorificada. Claro 3 × 4 = 12 (3 cuatro son doce) y 3x4m = 12m (3 cuatro m son doce m), pero 3m x 4m es diferente. No puede simplemente convertirlo en una adición porque es difícil entender lo que esto significa: tres m cuatro m.

Realmente no puedes “contar” algo a menos que uses números adimensionales. Entonces, con 3m x 4m, primero escribirías 3 x 4 xmxm o 3 x 4m ^ 2 que ahora PUEDES cambiar a la suma: 4m ^ 2 + 4m ^ 2 + 4m ^ 2 (tres 4m ^ 2 son 12m ^ 2) .

Agregar una longitud a una longitud produce otra longitud, y solo puede agregar cosas “similares” juntas. No tiene sentido escribir 2m + 3m ^ 2 porque simplemente no puede agregar una longitud a un área.

Multiplicar una longitud por una longitud va de una dimensión a dos. Multiplicar una masa por una aceleración te da algo con unidades kg xm / s ^ 2. Un tipo inteligente notó que la fuerza neta que actúa sobre un objeto es proporcional a la masa del objeto multiplicada por su aceleración (bajo ciertas condiciones) y básicamente define la fuerza de esta manera.

Somos libres de multiplicar cualquier cantidad por cualquier otra con cualquier unidad, pero no es hasta que se descubre una buena relación entre lo que hemos creado y algún fenómeno en la naturaleza que aparece algún tipo de significado.

Creo que hay otras definiciones de productos que pueden combinar cosas fundamentalmente diferentes (creo que el producto de la cuña es uno), por lo que la multiplicación común no es única en este sentido.

El problema de la dimensionalidad es de hecho más complicado de lo que parece a primera vista y tal vez necesite una reconsideración audaz en la parte inferior, porque crea problemas conceptuales, a pesar del hecho de que tenemos un acuerdo común de que sabemos de lo que estamos hablando, y nosotros más o menos lo hacen computacional o interpretativamente en las ciencias, por lo que aprendemos a ignorar las discrepancias.

Como la multiplicación es una adición repetitiva, estaría más que de acuerdo con Sean O’Hagan, aunque por alguna razón prefiero usar “número puro” en lugar de “escalar”. Solo señalaré un par de puntos sobre los que todos debemos reflexionar.

Un número engendra unidades si y cuando decidimos que consideramos adecuado definirlas y establecerlas. Geométricamente, un ángulo es una porción de espacio ilimitada. Si se ve a través del ángulo central de un círculo delimitador, que es un salto conceptual, dividimos la longitud del arco por el radio y obtenemos radianes que, técnicamente son (longitud / longitud), se consideran escalares y sin dimensiones y sin unidades, tanto como el ángulo como un concepto geométrico no tiene circunferencia de delimitación necesaria: una conveniencia computacional posiblemente se convierta en un callejón sin salida conceptual. Permítanme señalar dos conclusiones desafortunadas.

yo. Si la multiplicación por un escalar es una suma repetitiva y los radianes son escalares, entonces la multiplicación por radianes es una adición tan repetitiva como las manzanas en bolsas.

ii) Si la frecuencia ( f ) se mide en Hertz, donde 1 Hertz es 1 cps (ciclo por segundo), y si la frecuencia es la inversa del período, y si el período ( T ) es una duración de tiempo medida en segundos, entonces Hertzes es simplemente segundos inversos, sin más especificaciones necesarias, lo mismo que radianes por segundo o grados por segundo. La situación sería diferente si los ángulos o ciclos tuvieran unidades reconocidas unidas a ellos; solo pueden en el futuro, ¿verdad? Conceptualmente, entonces, el Hertz es una unidad redundante irrelevante, o el período debe medirse en spc (segundos por ciclo) o “Antihertz”, no solo en segundos.

Tu ejemplo no tiene sentido. No es

[matemáticas] 5 personas \ veces 2 \ manzanas [/ matemáticas]

El segundo valor debe ser 2 manzanas por persona , o [math] \ frac {2 \ apples} {person} [/ math]. Entonces, cuando multiplicas los dos juntos, obtienes

[matemáticas] 5 \ personas \ veces \ frac {2 \ manzanas} {persona} [/ matemáticas]

Las “unidades de persona” se cancelan y te quedas con

[matemáticas] 5 \ veces 2 \ manzanas = 10 \ manzanas [/ matemáticas]

Al final, las unidades son realmente útiles para verificar su trabajo (como en este caso). Pero no me aburriría demasiado tratando de interpretar lo que podría significar en el caso de algo así como F = ma. En cualquier caso, hay muchos casos en los que las unidades multiplicadoras deben tener un sentido perfecto e intuitivo. Por ejemplo, si usted y un compañero de laboratorio trabajan juntos en un informe durante toda una semana, es de esperar intuitivamente claro que el proyecto tomó 2 semanas hombre.

Tenga cuidado al asignar unidades o dimensiones. Para su ejemplo final, tiene
(5 personas) * (2 manzanas / persona) = 10 manzanas

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