La formulación integral del camino de la mecánica cuántica nos permite encontrar la amplitud de probabilidad para una partícula situada en la posición [matemática] x_i [/ matemática] en el momento [matemática] t_i [/ matemática] para alcanzar la posición [matemática] x_f [/ matemática] en el momento [math] t_f [/ math]. Esta amplitud se calcula integrando todos los caminos posibles en el espacio-tiempo que comienzan en [math] (x_i, t_i) [/ math] y terminan en [math] (x_f, t_f) [/ math]. Cada ruta está ponderada por la acción asociada a ella.
Matemáticamente, esto se puede escribir de la siguiente manera, en unidades donde [math] \ hbar = 1 [/ math]:
[matemáticas] \ langle x_ {f}, t_ {f} | x_ {i}, t_ {i} \ rangle = \ int \ mathcal {D} x \ left (t \ right) \, \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} S \ left [x \ left (t \ right) \ right]} [/ math]
Donde [math] S \ left [x \ left (t \ right) \ right] [/ math] es la acción cuántica, definida como la integral en el lagrangiano:
[matemáticas] S \ left [x \ left (t \ right) \ right] = \ int L \ left (x, \ dot {x}, t \ right) \ mathrm {d} t [/ math]
Tenga en cuenta que todas las rutas se tienen en cuenta, incluso las que no tienen sentido clásicamente. El camino donde la partícula comienza en [matemáticas] (x_i, t_i) [/ matemáticas], salta instantáneamente al otro lado de la galaxia de la Vía Láctea y luego salta instantáneamente a [matemáticas] (x_f, t_f) [/ matemáticas] también es uno de los infinitos caminos posibles en los que nos integramos.
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Sin embargo, al final, simplemente obtenemos la amplitud para que la partícula alcance [math] (x_f, t_f) [/ math] de [math] (x_i, t_i) [/ math]. No podemos saber qué camino tomó realmente la partícula, ni a qué velocidad viajó (ya que podría haber viajado a velocidades muy diferentes en diferentes partes de su viaje).
Ahora para responder a su pregunta, que en realidad tiene dos partes:
1. ¿Nos integramos también en caminos superluminales? Ciertamente. ¿Importa? ¡Ciertamente no! La mecánica cuántica “ingenua” no obedece las leyes de la relatividad especial , por lo que no hay límite superior en las velocidades de las partículas y no hay razón para que una partícula no viaje a velocidades superiores a la velocidad de la luz. En la teoría cuántica de campos, que es la formulación de la mecánica cuántica que obedece las leyes de la relatividad especial, las integrales de ruta se calculan utilizando rutas en el espacio de configuraciones de campo , en lugar de rutas en el espacio-tiempo, por lo que la pregunta es irrelevante.
2. ¿También nos integramos en caminos que retroceden en el tiempo? No, porque como puede ver en la formulación anterior, todos los caminos que están integrados deben comenzar en el tiempo [math] x_i [/ math] y finalizar en el tiempo [math] x_f [/ math]. Si insiste en elegir [matemáticas] x_f <x_i [/ matemáticas] por alguna razón, está perfectamente dentro de sus derechos, pero entonces usted es el que hace que las partículas “retrocedan en el tiempo”, no la ruta integral en sí misma.
