¿Qué pasa si el universo tiene la forma de una botella de Klein?

Esta es una pregunta interesante. Y uno en el que he pensado. Puedo responderlo de una manera. Pero para que mi respuesta tenga sentido, voy a tener que volver a enmarcar la pregunta de varias maneras.

Primero: ¿es posible que el universo tenga la forma de una botella de Klein?

No, no es.

Una botella de Klein se llama más propiamente superficie. (A los fines de esta respuesta, la llamo superficie de Klein.) Como todas las superficies, es bidimensional; Tiene largo y ancho pero no grosor. Nuestro universo es al menos tridimensional. Los teóricos de cuerdas postulan que puede tener más de tres dimensiones.

En esencia, la pregunta es: ¿Es posible que un objeto tridimensional tenga la forma de uno bidimensional? Por ejemplo, ¿es posible que una esfera tenga forma de cuadrado?

Enmarcado de esta manera, la pregunta no tiene sentido. En realidad no es posible. Ni siquiera es hipotéticamente posible.

Segundo: ¿Es posible que un universo bidimensional tenga la forma de una superficie de Klein?

No sé si un universo bidimensional es realmente posible. Pero es al menos hipotéticamente posible.

Hipotéticamente es posible que un universo bidimensional tenga cualquier forma bidimensional.

Entonces, sí, es posible.

Tercero: ¿Qué pasaría si un universo bidimensional tuviera la forma de una superficie de Klein?

Una característica distintiva de una superficie Klein es que, como una tira de Mobius, no es orientable. No orientable significa que no es posible distinguir izquierda de derecha. Imagine un objeto de color rojo a la derecha, limón a la izquierda y negro detrás. Si este objeto viajara una vez alrededor de una superficie de Klein y volviera a su punto de partida, a un observador en el punto de partida le parecería tener un negro detrás pero un limón a la derecha y un rojo a la izquierda. Sin embargo, para un observador que viaja con él, parecería sin cambios y, de hecho, no cambiaría. Para tal observador, los objetos en el punto de partida parecerían haberse invertido mientras él no estaba.

La no orientabilidad es una característica global, no local. Los objetos y observadores que permanecen en una ubicación particular siempre pueden distinguir izquierda a derecha en esa ubicación y en ubicaciones vecinas. Es solo a escala global, solo cuando se consideran todas las ubicaciones a la vez que izquierda y derecha son indistinguibles.

Imagina que asististe al nacimiento de un universo de superficie de Klein. Es lo suficientemente pequeño como para que pueda examinar todas sus partes fácilmente. Imagine también que el objeto que describí es en realidad una partícula fundamental de algún tipo. Podrías ver cómo innumerables partículas de este tipo viajaban por el universo y cambiaban de la versión de la mano derecha a la versión de la izquierda, luego viajaban de nuevo y volvían a la versión de la mano derecha. Habría versiones derecha e izquierda de la partícula en todas partes, pero sería consciente del hecho de que en realidad eran la misma partícula.

Imagine que alguien más visitó este mismo universo miles de millones de años después. Ahora es tan grande que es imposible ver una partícula viajar muy lejos. Esa persona decidiría que estaba viendo dos partículas diferentes que eran la imagen especular de la otra.

En un universo de superficie de Klein, cada partícula fundamental coincidiría con una segunda partícula que es su imagen especular.

Esto no significa que cada objeto en el universo tenga una imagen especular. Los objetos que se desarrollaron más tarde y se limitaron a localidades específicas no exhibirían esta característica. Solo los objetos que podrían viajar libremente en el universo primitivo serían reflejados. Espero que esto se aplique casi exclusivamente a partículas fundamentales.

Cuarto: ¿Es posible que un universo tridimensional tenga la forma del análogo tridimensional de una superficie de Klein?

No sé si esto es realmente posible. Pero es al menos hipotéticamente posible.

Quinto: ¿Qué pasaría si un universo tridimensional tuviera la forma del análogo tridimensional de una superficie de Klein?

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Editar: todo en cursiva se basó en una mala suposición y puede ignorarse sin dañar su bienestar personal. No habría una variedad de partículas de imagen especular para cada partícula; solo habría uno.

En este universo, puede esperar encontrar el equivalente tridimensional de las partículas de imagen especular. Solo que esta vez, debido a la dimensión adicional, sería posible una mayor variedad de imágenes especulares.

Si se pudieran encontrar todas las posibles partículas de imagen especular en un universo así, sería una pista del hecho de que en realidad era un universo analógico de superficie de Klein.

Sexto: ¿Qué pasa si el universo tiene la forma de un análogo tridimensional de una superficie de Klein?

Esperaríamos ver todas las partículas fundamentales con todas las versiones posibles de imágenes especulares. Pero nosotros no. Entonces no lo es.

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En un universo analógico de superficie de Klein, también podría esperar encontrar partículas de imagen especular. Cada partícula fundamental tendría una versión de imagen especular.

Los observadores que no pueden examinar el universo a nivel mundial asumirían que eran partículas diferentes.

Sin embargo, si se descubriera que cada partícula fundamental tiene una versión de imagen especular, sería una pista para mostrar que el universo no era orientable. No mostraría que el universo era un análogo de superficie de Klein, ya que podría ser un análogo de la tira de Mobius o alguna otra forma no orientable.

Una botella de Klein es un distribuidor bidimensional (incrustable en R ^ 4 sin intersección).

Hay variedades tridimensionales análogas a la botella de Klein, y sería muy interesante si las dimensiones espaciales de nuestro universo resultaran formar una variedad no orientable.

Significaría que podría (dado el tiempo suficiente) viajar de regreso al mismo lugar con una orientación opuesta. Por ejemplo, un observador que permaneció inmóvil podría observar que usted se va con la mano derecha y luego regresa con la mano izquierda (y, lo que es más interesante, también puede observar que usted fue hecho de antimateria a su regreso). En su punto de vista, sería su amigo estacionario quien inexplicablemente cambió su disposición (y quizás su composición de materia / antimateria).

Incluso si tiene la forma de este universo es interminable.

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