¿Cómo exactamente interpretas físicamente un producto externo?

Lo que Jay dice es acertado, es un operador que te lleva del estado [math] | B \ rangle [/ math] al estado [math] | A \ rangle [/ math]. Esto podría ser algo abstracto, así que vamos a dar un ejemplo.

Digamos que te importa el giro de un electrón a lo largo del eje z, que puede ser “girar hacia arriba” o “girar hacia abajo”, comúnmente denotado como [math] | \ uparrow \ rangle, | \ downarrow \ rangle [/ math ] Resulta que el operador de giro a lo largo del eje x se puede representar a través de la matriz Pauli [math] \ sigma_x [/ math]

[matemáticas] S_x = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x = \ frac {\ hbar} {2}
\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0
\ end {bmatrix}
[/matemáticas]

Alternativamente, podemos escribir

[matemáticas] S_x = \ frac {\ hbar} {2} (| \ uparrow \ rangle \ langle \ downarrow | + | \ downarrow \ rangle \ langle \ uparrow |) [/ math]

Lo que esto está diciendo explícitamente es que al medir el componente del eje x del impulso de giro, en consecuencia, voltearemos todos los giros hacia arriba y hacia abajo y viceversa.

Alternativamente:

Otra forma de pensar en esto es que es una fila / columna en una matriz. Una matriz general se puede representar como

[matemáticas] M = \ sum_ {i, j} M_ {i, j} | i \ rangle \ langle j | [/ matemáticas]

Es por eso que la identidad se puede escribir como

[matemáticas] I = \ sum_i | i \ rangle \ langle i | [/ matemáticas]

Los productos externos son muy interesantes. Resultan representar la interpretación física de “mezclar” espacios de Hilbert. Creo que la computación cuántica es la mejor en esta interpretación, por lo que presentaré algunos circuitos simples que muestran cómo se utilizan los productos externos.


Aquí hay un circuito. [math] H [/ math] es la transformación de Hadamard (estamos usando una forma de matriz de dos por dos aquí), el SWAP es una puerta de Fredkin, y hay una medida en el primer bit. Este circuito se lee (usando la notación de Kitaev) de derecha a izquierda. Esto es para hacer coincidir la multiplicación de la matriz para que sea más fácil de entender. Si no realizamos una operación en un bit determinado, entonces considera que aplicamos un operador de identidad.

Tenemos una entrada de tres bits a la derecha, [matemática] | 0 \ rangle [/ matemática], así como dos bits variables [matemática] \ xi, \ eta [/ matemática] que pueden ser 0 o 1. Nosotros Estás utilizando la base estándar aquí.

¿Cómo representamos el estado de salida de este sistema ANTES de la medición (llámelo [math] | G \ rangle [/ math])?

Como puede ver, utilizamos productos externos para representar los diferentes bits involucrados. Por ejemplo, notionalmente escribimos
[matemáticas]
| 0 \ xi \ eta \ rangle \ equiv | 0 \ rangle \ otimes | \ xi \ rangle \ otimes | \ eta \ rangle
[/matemáticas]
Representar los diferentes bits.

Segundo ejemplo Digamos que diseño un operador que actúa en el primer bit de un estado de dos bits, pero no en el segundo bit; ¿Cómo lo describimos matemáticamente? Podemos llamar al estado de dos bits [math] | n \ rangle [/ math] para [math] n = 0, 1, 2, 3 [/ math]. Para un sistema [math] k [/ math] -bit, podemos tener [math] n = 0, 1, \ cdots, 2 ^ {k-1} [/ math] (¿por qué?). Entonces, este operador de dos bits es [math] \ Omega = H \ otimes I [/ math].

Considero que el producto externo es una extensión del lenguaje matemático que usamos para describir la interacción con múltiples bits o múltiples espacios.

Es un producto tensorial, te lleva de dos vectores a un tensor. En dimensiones finitas, es Ai Bj donde Ai es el vector 1 y Bj es el vector 2, en notación de componentes. No tiene nada de misterioso, si tienes intuición para los tensores.

Un producto externo es simplemente un operador que lo lleva de un estado a otro. Su operador toma estados | B> y lo convierte en estado | A>.

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