Relatividad general: ¿Qué tiene de malo la analogía de la lámina de goma?

La metáfora de la lámina de goma en expansión para el universo en expansión está bien. Supongo que se refiere a un modelo donde una lámina de goma tiene puntos pintados para representar super cúmulos de galaxias y, a medida que la lámina se estira en ambas direcciones, X e Y, la distancia entre los puntos aumenta con el tiempo.

Las limitaciones de este modelo son:

  • Es solo bidimensional en lugar de tridimensional como nuestro universo.
  • Solo puede “modelar” la expansión DESPUÉS del instante T = 0 del Big Bang. No puede hacer que la lámina de goma se comprima infinitamente y aún así llenar todo el espacio de la forma en que lo hizo la singularidad del big bang.
  • Hay un límite para cuánto puede estirar una lámina de goma, pero no hay límite para cuánto espacio puede expandirse.
  • No puede hacer predicciones cuantitativas a partir de este modelo.
  • Continúa tomando fuerza para expandir la hoja, mientras que el espacio continuaría expandiéndose por sí mismo.
  • No modela fácilmente la expansión acelerada del espacio que resulta de la presencia de Energía Oscura en nuestro universo.

Según el artículo sobre la expansión métrica del espacio en Wikipedia:

Otros modelos conceptuales de expansión.

La expansión del espacio a menudo se ilustra con modelos conceptuales que muestran solo el tamaño del espacio en un momento particular, dejando implícita la dimensión del tiempo.

En el “modelo de la hormiga sobre una cuerda de goma ” uno imagina una hormiga (idealizada como un punto) que se arrastra a una velocidad constante en una cuerda perfectamente elástica que se estira constantemente. Si estiramos la cuerda de acuerdo con el factor de escala ΛCDM y pensamos en la velocidad de la hormiga como la velocidad de la luz, entonces esta analogía es numéricamente precisa: la posición de la hormiga con el tiempo coincidirá con la ruta de la línea roja en el diagrama de incrustación anterior.

En el “modelo de lámina de goma”, uno reemplaza la cuerda con una lámina plana de goma bidimensional que se expande uniformemente en todas las direcciones. La adición de una segunda dimensión espacial aumenta la posibilidad de mostrar perturbaciones locales de la geometría espacial por curvatura local en la hoja.

En el “modelo de globo”, la lámina plana se reemplaza por un globo esférico que se infla desde un tamaño inicial de cero (que representa el big bang). Un globo tiene una curvatura gaussiana positiva mientras que las observaciones sugieren que el universo real es espacialmente plano, pero esta inconsistencia puede eliminarse haciendo que el globo sea muy grande para que sea localmente plano dentro de los límites de observación. Esta analogía es potencialmente confusa ya que sugiere erróneamente que el Big Bang tuvo lugar en el centro del globo. De hecho, los puntos fuera de la superficie del globo no tienen significado, incluso si fueron ocupados por el globo en un momento anterior.

En el “modelo de pan de pasas” se imagina una barra de pan de pasas que se expande en el horno. El pan (espacio) se expande como un todo, pero las pasas (objetos unidos gravitacionalmente) no se expanden; simplemente crecen más lejos el uno del otro.

Todos estos modelos tienen el problema conceptual de requerir una fuerza externa que actúe sobre el “espacio” en todo momento para expandirlo. A diferencia de la materia cosmológica real, las láminas de goma y las hogazas de pan se unen electromagnéticamente y no continuarán expandiéndose por sí solas después de un tirón inicial.
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Animación de un modelo de pan de pasas en expansión. A medida que el pan se dobla en ancho (profundidad y longitud), las distancias entre las pasas también se duplican.

Todas las analogías son defectuosas, por eso son analogías y no teorías científicas.
La analogía de la lámina de goma o del trampolín para Gravity es defectuosa porque no es completamente tridimensional como lo sería una estrella y los planetas reales. El lado derecho de este par de dibujos está más cerca de la vida real pero aún no es exacto.

Supongo que dos cosas en particular me parecen profundamente defectuosas acerca de la analogía de la lámina de goma.

Primero, no es el espacio lo que es curvo, sino el espacio-tiempo. Y los objetos físicos siguen líneas rectas en el espacio-tiempo, no en el espacio.

En segundo lugar, en la analogía de la lámina de goma, ¡las trayectorias que se representan no son líneas rectas de la lámina de goma! Por un lado, dependen de la velocidad inicial de la bola rodante. Este no sería el caso para las líneas rectas de la lámina de goma. Si sigues un gran círculo en la esfera, lo seguirás sin importar tu velocidad. ¡Y eso es muy malo, porque el objetivo de tener un espacio-tiempo curvo era que las trayectorias a través del espacio-tiempo curvo serían geodésicas! De hecho, en la relatividad general, la normalización de la mal llamada “velocidad 4D” a través del espacio-tiempo es irrelevante para determinar las ecuaciones de movimiento (aunque generalmente se considera que está en las unidades del tiempo apropiado).

Estás en lo correcto. Esta analogía tiene poco sentido cuando comienzas a pensar demasiado en ella. Lo cual no es tan extraño, las analogías nunca son perfectas.

Estamos acostumbrados a que las cosas bajen, por lo que es muy lógico ver por qué las órbitas en la imagen superior se comportan de la manera en que lo hacen. Cuando comienzas a pensar más y te das cuenta de que solo se mueven hacia abajo debido a la gravedad, toda la idea deja de tener sentido. En este punto, la analogía simplemente se rompe.

El problema es, por supuesto, que la gravedad es un fenómeno en el espacio-tiempo de 4 dimensiones. A menudo puede ignorar el tiempo y simplemente mirar una imagen estática, pero eso todavía deja una figura en 3 dimensiones. Dibujar imágenes en 3D puede ser bastante difícil en papel 2d. Si también necesita que el espacio 3d sea curvo, se vuelve aún más difícil.

Esta es una imagen que tiene más sentido realista. Las líneas blancas que ves serían rectas si quitas la tierra. Simplemente agregando la tierra se dobla el espacio-tiempo de tal manera que las líneas blancas permanecen rectas (por supuesto, la definición de lo que es recto y lo que no se vuelve borroso aquí, las líneas blancas representan los caminos que tomarían los fotones cuando pasan por la tierra, en Relatividad esto se considera directo, si mal no recuerdo).

Sin embargo, la imagen de arriba no explica intuitivamente por qué la tierra gira alrededor del sol o la luna alrededor de la tierra. No te da la idea de que “si te acercas lo suficiente a este agujero negro, simplemente no volverás a salir”. Entonces, aunque es una imagen más precisa, no le permite explicar varias características de la relatividad.

Con una lámina de goma, la razón por la que las cosas ruedan hasta el fondo de la abolladura es, bueno, la gravedad. Los mecanismos detrás de una abolladura y las geodésicas del espacio-tiempo son diferentes; La similitud es que algo se deforma y cambia el camino. También implica que la urdimbre está en una dimensión diferente, lo cual no es necesario.

Si pone la lámina de goma al revés y coloca las masas en picos en lugar de pozos, las geodésicas son las mismas, pero la intuición básica desaparece. Entonces la gravedad se está utilizando para explicar la gravedad.

Para descubrir la forma de una geodésica de una superficie bidimensional incrustada en tres dimensiones, generalmente imagino sostener una cuerda contra esa superficie y tensarla. Por ejemplo, si haces eso en un globo terráqueo, la cadena estará en un gran círculo. Para la lámina de goma, sería difícil tensar la cuerda en la parte superior de la superficie. En realidad, colocarías la cuerda BAJO la sábana y la tensarías (o la pondrías al revés).

Creo que es difícil tener una intuición real sobre la curvatura intrínseca, por lo que tener un modelo incrustado defectuoso no me molesta tanto. La mayoría de los modelos tienen algunos defectos.

La lámina de goma representa la curvatura extrínseca, curvatura que surge de una dimensión no libre. Los objetos pueden moverse libremente sobre la superficie de la superficie de goma ‘horizontal’, pero la curvatura está en la dirección vertical está restringida y los objetos no pueden moverse libremente en esa dirección.

El tipo de curvatura en GR es intrínseco: no implica una dimensión adicional. Este tipo de curvatura es más abstracta y solo puede describirse matemáticamente.

Entonces, el problema con la lámina de goma es que da la impresión de que la curvatura es literal, el tipo de curvatura que pensamos asociado con un globo. Al igual que en la teoría cuántica, las personas escuchan la palabra ‘onda’, y piensan que algo se agita u oscila en el espacio. En ambos casos, el fenómeno es abstracto y va en contra de cualquier cosa para la cual una analogía de sentido común sería buena.

El mejor modelo es la analogía de “Fish in a Pond” de Leonard Susskind que utilizó en su conferencia. Si todos fuéramos peces en un estanque, imagine cómo sería si se añadiera agua constantemente al estanque. El espacio no se expande, sino que se agrega espacio nuevo. En la analogía de la lámina de goma, no se agregan nuevas propiedades inmobiliarias y, por lo tanto, sugiere algún tipo de tensión elástica, que no existe en el universo.

Se nos pide que imaginemos objetos doblando una lámina de goma sobre la que yacen como analogía de la distorsión del espacio-tiempo por objetos masivos. La deformación de la hoja solo ocurre como resultado de la gravedad, que es el fenómeno que la imagen pretende explicar. Siempre he encontrado esto ridículamente circular.

La analogía de la lámina de goma es, en realidad, inesperadamente precisa. Es más precisa de lo que la mayoría de la gente pensaría. El otro modelo es bueno porque ofrece una representación 3D pero es inexacto porque ilustra el efecto contrario que la masa tiene en el espacio-tiempo. ¡La masa infla el espacio-tiempo, no lo está contrayendo!

Bueno, hay un problema profundo en que te lleva a mirar la relatividad desde la perspectiva incorrecta. Se supone que la relatividad se centra en los objetos (las masas) y se supone que toda la física surge de los movimientos relativos de los objetos. La analogía de la lámina de goma te hace mirar al espacio.

Las direcciones de movimiento de los cuerpos más pequeños hacia el centro, bajo la gravedad, se crean por abolladuras producidas por la gravedad en el cuerpo más grande.
Si los cuerpos más pequeños pudieran moverse en la parte inferior de la lámina de goma, se alejarían del centro.

Es una buena analogía. Ayuda a la imaginación a construir un espacio-tiempo de 4 luces. Sin embargo, vivimos en un espacio de 3 luces, no hay forma de que el espacio-tiempo de 4 luces se pueda explicar con precisión usando 3 dimensiones de nuestra vida diaria. Mientras las personas sean conscientes de las matemáticas detrás, estarán bien usando el caucho. Pero, por supuesto, si uno no conoce las matemáticas, será inútil, ya que la relatividad, a diferencia de la mecánica cuántica de su hermano, que es algebraica, depende mucho de la geometría.

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