Un plasmón de Dirac surge en un sistema donde los electrones en la red son descritos por el “Dirac Hamiltoniano”. La manifestación más popular del hamiltoniano de Dirac en la materia condensada ocurre en redes bipartitas 2D. Tales redes están compuestas por dos sub redes subyacentes que dan lugar a la noción de un giro artificial, de ahí que el hamiltoniano electrónico se parezca al hamiltoniano de Dirac. (Nota al margen: la ecuación de Dirac no es realmente “necesaria” para describir el giro en los sistemas de baja energía. La motivación para la introducción de la ecuación de Dirac en HEP va mucho más allá de “solo” eso).
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Sin embargo, el plasmón habitual surge en sistemas donde el comportamiento electrónico se describe mediante la ecuación de Schrodinger. (De hecho, uno de los primeros PSET en muchos cursos sobre QM relativista o QFT introductoria contendrá un problema pidiéndole que “derive” la ecuación de Schrodinger de la ecuación de Dirac o Klein Gordon).
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Para ser precisos, anotemos los dos hamiltonianos en cuestión:
- Electrones en material Dirac 2D
[matemáticas] H = \ hbar v_F \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {\ alpha} + \ frac {\ Delta} {2} \ sigma_z [/ math]
Tenga en cuenta que, en el espíritu de la ecuación de Dirac, los [math] \ alpha [/ math] ‘s y [math] \ sigma_z [/ math] son matrices en lugar de escalares.
- Electrones en material 2D (parabólico) habitual
[matemáticas] H = \ frac {\ hbar ^ 2 \ mathbf {k} ^ 2} {2 m} + V [/ matemáticas]
Ahora que tenemos el Hamiltoniano, podemos diagonalizarlo y encontrar sus modos propios y energías propias. Una vez que tengamos estos, podemos usar la teoría de respuesta lineal estándar para calcular la función dieléctrica, [math] 1-v_q \ Pi (q, \ omega) [/ math]. El modo de plasmón longitudinal está dado por los ceros de esta función dieléctrica. Para las personas que no están familiarizadas con esto, puede pensar en el modelo de Drude para el cual la función dieléctrica tiene la forma, [matemática] 1- \ omega_p ^ 2 / \ omega ^ 2 [/ matemática] y desde aquí puede construir un analogía al notar que esta función dieléctrica se desvanece a la frecuencia del plasma.
El cálculo de la función dieléctrica es bastante sencillo de realizar. Una vez que lo tenemos, podemos ver tres puntos principales de diferencia entre un plasmón regular y el plasmón Dirac:
1. La forma de la dispersión es bastante diferente.
Un plasmón regular tiene una dispersión de la forma:
[matemáticas] \ omega = \ sqrt {\ frac {2 \ pi e ^ 2 n} {m}} q ^ {1/2} [/ matemáticas]
donde [math] m [/ math] es la masa y [math] n [/ math] es la densidad del portador.
Un plasmón Dirac tiene una dispersión de la forma:
[matemáticas] \ omega = \ sqrt {\ frac {(g \ pi) ^ {1/2} e ^ 2 n} {\ hbar v_F}} \ left \ {{n + \ frac {g} {4 \ pi} \ left (\ frac {\ Delta} {\ hbar v_F} \ right) ^ 2} \ right \} ^ {- 1/4} q ^ {1/2} [/ math]
donde [math] g [/ math] es el valle y la degeneración del spin
Tenga en cuenta que ambos tienen la misma dependencia [matemática] q ^ {1/2} [/ matemática]. Pero los prefactores son muy diferentes. De hecho, no hay un término de masa directamente análogo en el caso de Dirac.
2. El plasmón de Dirac muestra “cuántica” al primer orden en sí mismo, pero el plasmón habitual, solo para órdenes perturbativos superiores
¿Recuerdas, en nuestro primer año de mecánica cuántica, tomar el límite clásico que nos dijeron que consideráramos el límite [matemáticas] \ hbar \ rightarrow 0 [/ matemáticas]? Bueno, esto también funciona aquí. En la dispersión de plasmón Dirac proporcionada anteriormente, hay un término [math] \ hbar [/ math] en el denominador. ¿Que extraño? ¿Cómo vamos a tomar el límite clásico del plasmón Dirac? La respuesta es que no podemos.
Sin embargo, para el plasmón habitual, las correcciones [math] \ hbar [/ math] solo aparecen en órdenes superiores en la teoría de perturbaciones.
3. Las dependencias de densidad portadora del plasmón Dirac y el plasmón habitual son bastante diferentes.
Este punto es de especial relevancia para los experimentadores para distinguir fácilmente entre estos dos tipos de plasmones. (Advertencia: no he pensado si esta es una condición necesaria o suficiente para tal distinción)
La dispersión de plasmón Dirac depende de la densidad del portador como
[matemáticas] n ^ {1/2} \ left \ {{n + \ frac {g} {4 \ pi} \ left (\ frac {\ Delta} {\ hbar v_F} \ right) ^ 2} \ right \} ^ {- 1/4} [/ matemáticas]
mientras que el plasmón habitual tiene la dependencia simple [matemática] n ^ {1/2} [/ matemática].
Los experimentadores pueden hacer fácilmente muestras con diferentes dopajes y medir la frecuencia del plasmón para cada una. Por lo tanto, esta es una prueba rápida y sucia para el tipo de plasmón.
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Se pueden presentar argumentos análogos para otras dimensiones superiores o inferiores a dos, como se considera aquí. Los puntos generales de la distinción de estos dos tipos de plasmón son bastante similares en esas dimensiones también.
