¿Qué tan alta energía debe ser un rayo cósmico para crear un muón?

Los muones son pares producidos en rayos cósmicos. Suponiendo que el rayo cósmico que incide es un protón y golpea un protón, entonces la reacción es
[matemáticas] pp \ rightarrow pp \ mu ^ + \ mu ^ – [/ matemáticas]
El centro mínimo de energía de masa para las partículas del estado final es cuando todas ellas están en reposo en el centro del marco de momento, lo que requiere
[matemáticas] E_ {CM}> 2m_p + 2m_ \ mu [/ matemáticas].
El centro inicial de la energía de masa debe ser mayor que este para producir este estado final. El centro inicial de la energía de masa es
[matemáticas] E ^ 2_ {CM} = (P_ {p1} + P_ {p2}) ^ 2 [/ matemáticas]
donde [math] P_ {p1} [/ math] y [math] P_ {p2} [/ math] son ​​los momentos relativistas de los protones. El protón en la atmósfera de la Tierra es
[matemáticas] P_ {p1} = (m_p, 0,0,0) [/ matemáticas]
y el muon que incide es (tomándolo sin pérdida de generalidad para estar en la dirección z)
[matemáticas] P_ {p2} = (E_ {p2}, 0,0, \ sqrt {E_ {p2} ^ 2 -m_p ^ 2}) [/ matemáticas]
Así
[matemáticas] E_ {CM} ^ 2 = (m_p + E_ {p_2}) ^ 2> (2 m_p + 2 _ \ mu) ^ 2 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] E_ {p2}> m_p + 2 m_ \ mu [/ matemáticas]
La mayor parte de esta energía es la energía de masa del protón. Entonces, el protón no es realmente relativista ya que la masa del muón es aproximadamente 1/10 de la del protón, por lo que la velocidad del protón es
[matemáticas] v_p> 2 c \ sqrt {m_ \ mu / m_p} [/ matemáticas]
utilizando
[matemáticas] E_ {p2} = m_p + 1/2 m_p v_p ^ 2 [/ matemáticas]
y da como resultado que el protón viaje un 65% la velocidad de la luz.