¿Cómo se relaciona la densidad con la masa de un agujero negro?

Una definición razonable para la “densidad promedio” de un agujero negro sería tomar la masa del agujero negro dividida por el volumen del horizonte de eventos. Sin embargo, tenga en cuenta que dentro del agujero negro toda la masa estará realmente en la singularidad en el centro del agujero negro y todo el resto del volumen del agujero negro estará vacío (al menos para los agujeros negros no giratorios de Schwarzchild).

Con esta definición de la densidad promedio de un agujero negro, resulta que cuanto más masivo es el agujero negro, menos denso es. La razón por la que esto es cierto es porque el radio de Schwarzchild del horizonte de eventos del agujero negro es directamente proporcional a la masa del agujero negro:
[matemáticas] r = \ frac {2GM} {c ^ 2} [/ matemáticas]
La densidad promedio del agujero negro sería:
[matemáticas] \ rho = \ frac {M} {\ frac {4} {3} \ pi r ^ 3} [/ matemáticas]
Entonces, sustituyendo obtenemos:
[matemáticas] \ rho = \ frac {3c ^ 6} {32 \ pi G ^ 3M ^ 2} [/ matemáticas]
Entonces, la densidad promedio de un agujero negro varía como el cuadrado inverso de la masa del agujero negro. Por lo tanto, cuanto más pesado es el agujero negro, menor es la densidad.

Por ejemplo, un agujero negro que tuviera la masa de toda la galaxia de la Vía Láctea tendría una densidad promedio de aproximadamente una millonésima parte de la densidad del aire ; en otras palabras, sería un buen vacío, según nuestros estándares. (Ver 3 * c ^ 6 / (32 \ pi * (constante gravitacional) ^ 3 * (masa de la vía láctea) ^ 2) / (densidad del aire)) Por cierto, este agujero negro tendría un diámetro de aproximadamente 2 años luz (ver página en Wolframalpha).

El agujero negro en el centro de nuestra galaxia tiene una masa equivalente a 4.1 millones de veces la masa del Sol. Por lo tanto, su densidad “solo” sería aproximadamente 97 veces la densidad del plomo. (Ver 3 * c ^ 6 / (32 \ pi * (constante gravitacional) ^ 3 * (4,100,000 * (masa del sol)) ^ 2) / densidad del plomo). Este agujero negro tiene un diámetro de 24 millones de km o 15 millones de millas o 17 veces el diámetro del Sol (ver página en Wolframalpha).

Finalmente, un agujero negro de masa solar tiene una densidad de aproximadamente 50 veces la densidad del núcleo atómico promedio, MUY DENSO . (Ver 3 * c ^ 6 / (32 \ pi * (constante gravitacional) ^ 3 * (masa del sol) ^ 2)) Este agujero negro tiene un diámetro de 5.9 km o 3.7 millas (ver 4 * (constante gravitacional) * (masa del sol) / velocidad de la luz ^ 2).

Esta respuesta está adaptada de mi respuesta a: ¿Por qué es importante la densidad al discutir los agujeros negros? Para obtener más información sobre los agujeros negros, consulte también:

  • mi respuesta a ¿Por qué la luz no puede escapar de un agujero negro?
  • mi respuesta a ¿Cómo sería la “muerte” de un Agujero Negro?

Para ampliar un poco la respuesta de Frank Heile, me gustaría señalar que esta definición de densidad solo se aplica a los agujeros negros de Schwarzchild (sin carga, sin rotación). Los agujeros negros cargados (Reissner – Nordström), giratorios (Kerr) o, más generalmente, cargados y giratorios (Kerr – Newman) tienen 2 horizontes de eventos, por lo que no está claro cómo se debe definir una “densidad promedio” para este tipo de agujeros negros.

Otra forma de pensar sobre la densidad de los agujeros negros, que es mucho menos útil en los cálculos pero es igualmente válida, es notar que la singularidad del agujero negro en realidad contiene toda su masa, y el volumen entre la singularidad y el horizonte de eventos es libre espacio sin masa. En los agujeros negros no giratorios, la singularidad es un único punto en el medio. En los agujeros negros giratorios, la singularidad toma la forma de un anillo. En ambos casos, sin embargo, el volumen de la singularidad es cero y, por lo tanto, su “densidad” es infinita , sin importar su masa, mientras que la densidad de cualquier otro punto dentro del horizonte de eventos es cero.

Como dije, esto no es muy útil en los cálculos (ya que un valor que siempre se evalúa como infinito no se considera “físico”), pero los agujeros negros son raros de esa manera. Una de las razones por las que estamos tratando de encontrar una teoría de la gravedad cuántica es que dicha teoría debería permitirnos deshacernos de las singularidades por completo, o al menos hacerlas finitas de alguna manera, para que el cálculo de la densidad haga más sentido.