Si dos objetos celestes se acercan, ¿comenzarán a girar uno alrededor del otro? ¿O simplemente se mantienen unidos debido a la atracción gravitacional?

Depende de qué es exactamente, si se trata de nubes de gas se fusionará,

• si la estrella y el planeta entonces el planeta girará a su alrededor
• si es satélite natural y planeta, entonces el satélite girará alrededor del planeta
• Si los cometas, los asteroides y los planetas pueden romperse
  

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  En pantalones cortos, depende del tamaño, la masa, la composición y otros factores. Según la ley de gravitación de Newton
• F = (G * m1 * m) / r ^ 2 depende de las masas del cuerpo y la distancia entre ellas según esto

Si solo tiene dos cuerpos, la conservación de la energía evita que entren en órbita uno alrededor del otro. La velocidad que gana un objeto al caer hacia otro objeto es igual a la velocidad de escape, por lo que inevitablemente escapará nuevamente del otro lado.

Hay dos formas en que los objetos podrían evitar escapar unos de otros. Podrían interactuar con un tercer cuerpo y transferirle parte de su energía. O bien, podrían chocar entre sí (o podrían simplemente extrañarse pero acercarse lo suficiente como para que la resistencia de sus atmósferas externas los desacelere lo suficiente como para entrar en órbita).