¿Son equivalentes la ergodicidad y la mezcla?

Como señaló Alon Amit, la mezcla implica una mezcla débil, lo que a su vez implica ergodicidad. Las conversaciones no son ciertas.

Aquí hay un ejemplo para ver que la ergodicidad no implica una mezcla débil. Para un sistema de preservación de medida [matemática] (X, \ matemática B, \ mu, T) [/ matemática], un criterio equivalente para una mezcla débil es [matemática] T \ veces T [/ matemática] es ergódica, (por supuesto en el espacio del producto dotado de la medida del producto). Mire el sistema [math] (\ mathbb T, \ mathcal B, \ lambda, R _ {\ alpha}) [/ math] donde [math] \ mathbb T [/ math] es, como siempre, el toro unidimensional, ( [math] \ mathbb R / \ mathbb Z [/ math] con cociente topología), [math] \ mathcal B [/ math] es el Borel sigma-álgebra, [math] \ lambda [/ math] es la medida de Lebesgue y [math] R_ \ alpha: \ mathbb T \ to \ mathbb T [/ math] es la rotación irracional de [math] \ alpha [/ math]. Es un ejercicio verificar que [math] R_ \ alpha \ times R_ \ alpha [/ math] NO es ergódico en el espacio del producto correspondiente, por lo que [math] R_ \ alpha [/ math] no puede ser una mezcla débil. Por supuesto, es ergódico. Ahí tienes. También puede discutir directamente tomando dos intervalos lo suficientemente pequeños [matemática] A, B [/ matemática] y observando que después de un punto bajo la rotación irracional, [matemática] A \ cap T ^ nB = \ phi [/ matemática].

Los ejemplos que muestran una mezcla fuerte y una mezcla débil no son equivalentes, no son triviales. Puedes mirar las construcciones de Kakutani o Maruyama (la primera, al menos, está disponible como Springer Lecture Notes).

Sin embargo, puede demostrar que cualquier endomorfismo en un grupo abeliano compacto se está mezclando si y solo si es ergódico. Esto utiliza algunas caracterizaciones equivalentes de ergodicidad y mezcla.