¿Cómo puede uno, estando en un espacio 2D, usar las matemáticas para demostrar la existencia de la tercera dimensión?

Usted no

Si vives en un universo en 2-d, podría ser que no haya una dimensión en 3-d.

Lo que te dan las matemáticas es que proporciona un marco para hacer cálculos en n dimensiones. Pero si su universo es 2-d o 3-d es una cuestión de física y no matemática. Las matemáticas te dan las herramientas. Si su universo fuera matemático tridimensional, le da las herramientas para describirlo, pero no le dice cómo es su universo.

Las dimensiones físicas son cosas materiales. Las matemáticas no prueban la existencia o la no existencia de cosas materiales: solo puede mostrar que una entidad material percibida utilizando nuestros sentidos (la “medida”) se ajusta (las medidas coinciden), en algún nivel de detalle, a alguna entidad construida a partir de un sistema de axiomas que describe una topología / álgebra / otra entidad abstracta.

Visto de esta manera, hay mundos multidimensionales a nuestro alrededor todo el tiempo. Es solo si se restringe a mundos “físicos”, es decir, mundos donde cada dimensión es medible por una “regla” (un borde recto con un mínimo de dos marcas), y luego requiere que el mundo sea invariante bajo rotación (es decir, el borde recto no se deforma cuando lo cambia del eje X al eje Y, y luego requiere que sea euclidiano (la medida es sqrt (dx ^ 2 + dy ^ 2 + …), es decir, un “círculo” puede dibujarse usando una “brújula no deformable”) en la que puede plantear esta pregunta.

Cuando lo plantea de esa manera, la pregunta es: “Si tengo una regla y una brújula de 2 luces confinada en un plano, ¿puedo definir un volumen?

La respuesta es bastante obvia: “no, no puedes definir un volumen, así que puedes concebirlo pero no puedes probar que existe un volumen”.

Luego puede preguntar cómo sabemos acerca de los objetos de 4 dimensiones. Nosotros no No podemos construir uno. Podemos concebir un objeto 4-d pero no podemos demostrar que existe.

¿Y el tiempo? ¿Einstein no demostró que el tiempo es la 4ta dimensión? En realidad no, tenga en cuenta que no podemos construir nada con el tiempo. Mostró que se podía definir una medida no euclidiana con el tiempo como la dimensión 4 que permitía que la luz no se moviera (porque para un fotón “dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 – c ^ 2 * dt ^ 2” siempre es cero). Eso es extraño y no es lo que nadie quiere decir cuando preguntan “¿Puede un ser 2-d probar la existencia de 3-d?”

Espero que estén confundidos por ahora. Gracias por su atención.

Puede probar la curvatura de este espacio bidimensional. Si está en una variedad curva bidimensional en este espacio 3D (como vivir en la superficie de un globo), podría medir la suma de los ángulos de triángulos realmente grandes. Si la suma no supera los 180 grados, vives en una variedad curva.

Pero si el colector es plano, puede medir tantos ángulos como desee y aún no sabrá que está incrustado en el espacio 3D.

No, por supuesto, no puedes. De hecho, ese es el punto de un maravilloso libro para niños llamado Flatland ( http://en.m.wikipedia.org/wiki/F …). Bueno, es eso y ese prejuicio es realmente obtuso.

Podrías medir la radiación esférica desde una fuente puntual y ver cuántas dimensiones tiene la esfera …

Tom Morly [Math, Georgia Tech] tuvo un artículo en SIAM Review en la década de 1980 titulado “Una prueba de que el mundo es tridimensional” basado en las diferencias en el ecualizador de onda acústica en dimensiones pares o impares. Es un artículo muy inteligente que puede interesarle.

No sé si uno puede “probar” la existencia de un espacio dimensional superior, pero puede hacer que la idea sea más plausible al estudiar y exhibir proyecciones de espacio dimensional superior en el espacio común.

Por eso creo en los cubos de cuatro dimensiones. He hecho modelos de tesseracts.