¿Por qué es importante la densidad cuando se habla de agujeros negros?

La densidad de un agujero negro no causa directamente la flexión de la luz. La masa y el radio son los dos importantes. Ahora, la masa y el radio tienen una relación con la densidad de la siguiente manera:
Densidad media [matemática] = \ rho = \ frac {M} {\ frac {4} {3} \ pi r ^ 3} [/ matemática]
Como indican los detalles de la pregunta, la fuerza gravitacional newtoniana en la superficie del agujero negro de radio [matemáticas] r [/ matemáticas] es:
[matemáticas] F = \ frac {G m M} {r ^ 2} [/ matemáticas]

(La relatividad general realmente necesita ser utilizada para los agujeros negros, por lo que esta ecuación no es exacta, pero es “cierta” cierta aproximadamente, dentro de un factor de 2 más o menos).

Al resolver la primera ecuación para la masa [matemática] M [/ matemática] y sustituirla en la ecuación [matemática] F [/ matemática] se obtiene:
[matemáticas] F = \ frac {4} {3} \ pi G m \ rho r [/ matemáticas]
Entonces, la fuerza en la superficie (horizonte de eventos) de un agujero negro es proporcional a la densidad promedio del agujero negro multiplicado por el radio. Puede aumentar la fuerza aumentando la densidad O aumentando el radio mientras mantiene constante la densidad.

Lo interesante que implican estas ecuaciones es que cuanto más masivo es el agujero negro, menos denso es. La razón por la que esto es cierto es porque el radio del agujero negro es proporcional a la masa del agujero negro:
[matemáticas] r = \ frac {2GM} {c ^ 2} [/ matemáticas]
Sustituyendo esto en la ecuación para la densidad de un agujero negro da:
[matemáticas] \ rho = \ frac {3c ^ 6} {32 \ pi G ^ 3M ^ 2} [/ matemáticas]
Entonces, la densidad promedio de un agujero negro varía como el cuadrado inverso de la masa del agujero negro. Por lo tanto, cuanto más pesado es el agujero negro, menor es la densidad.

Por ejemplo, un agujero negro que tenía la masa de la galaxia de la Vía Láctea tendría una densidad promedio de aproximadamente una millonésima parte de la densidad del aire ; en otras palabras, sería un buen vacío, según nuestros estándares. (Ver 3 * c ^ 6 / (32 \ pi * (constante gravitacional) ^ 3 * (masa de la vía láctea) ^ 2) / (densidad del aire)) Por cierto, este agujero negro tendría un diámetro de aproximadamente 2 años luz (ver página en Wolframalpha).

El agujero negro en el centro de nuestra galaxia tiene una masa equivalente a 4.1 millones de veces la masa del Sol. Por lo tanto, su densidad “solo” sería aproximadamente 97 veces la densidad del plomo. (Ver 3 * c ^ 6 / (32 \ pi * (constante gravitacional) ^ 3 * (4,100,000 * (masa del sol)) ^ 2) / densidad del plomo). Este agujero negro tiene un diámetro de 24 millones de km o 15 millones de millas o 17 veces el diámetro del Sol (ver página en Wolframalpha).

Finalmente, un agujero negro de masa solar tiene una densidad de aproximadamente 50 veces la densidad del núcleo atómico promedio, MUY DENSO . (Ver 3 * c ^ 6 / (32 \ pi * (constante gravitacional) ^ 3 * (masa del sol) ^ 2)) Este agujero negro tiene un diámetro de 5.9 km o 3.7 millas (ver 4 * (constante gravitacional) * (masa del sol) / velocidad de la luz ^ 2).

Para obtener más información sobre los agujeros negros, consulte:

  • mi respuesta a ¿Por qué la luz no puede escapar de un agujero negro?
  • mi respuesta a ¿Cómo sería la “muerte” de un Agujero Negro?

Aunque los agujeros negros se estudian utilizando ecuaciones de relatividad general, la pregunta se refiere a la Ley de gravedad de Newton. Incluso en la representación newtoniana, la ecuación que ha establecido es la fuerza entre 2 partículas. Cuando tratas con objetos, obtienes densidad en la imagen. Cuando tiene que integrarse para encontrar el campo en un punto particular dentro de un objeto sólido, tiene en cuenta las fuerzas debidas a todas las masas infinitas más pequeñas y se integra sobre el volumen total, por lo que sobre todo el campo dentro del centro de decir una estrella es:
[matemáticas] \ vec {g} = \ int _ {\ tau} -G \ frac {\ rho (r) d \ tau \ vec {r}} {r ^ {3}}) [/ matemáticas]. Donde [math] dm (r) = \ rho (r) d \ tau [/ math]
Del mismo modo, puede calcular el campo en cualquier punto dentro de un objeto, lo más probable es que sea proporcional a la densidad promedio.