En matemáticas, las series infinitas 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯, también escritas, a veces se llaman series de Grandi
Encontrar la suma de esta serie es bastante desconcertante para los matemáticos a lo largo de los siglos.
Un método obvio para atacar la serie.
- ¿Por qué la India está por delante de Pakistán en Ciencias y Matemáticas?
- ¿Cuál es la teoría de la imagen en electromagnetismo?
- ¿Puede la ciencia seguir funcionando si todas las adiciones se cambian a multiplicaciones y viceversa?
- ¿Cuál es la diferencia entre el índice de peróxido y el índice de yodo?
- ¿Quora tiene problemas con usuarios anónimos, particularmente en temas de matemáticas / ciencias? ¿Cuáles son algunas posibles soluciones?
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯
es tratarlo como una serie telescópica y realizar las restas en su lugar:
(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ⋯ = 0 + 0 + 0 + ⋯ = 0.
Respuesta = 0
Por otro lado, un procedimiento de horquillado similar conduce a un resultado aparentemente contradictorio.
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ⋯ = 1 + 0 + 0 + 0 + ⋯ = 1.
Respuesta = 1
Pero eso no es todo . hay una posible respuesta más para esta serie
Al tratar la serie de Grandi como una serie geométrica divergente, podemos usar los mismos métodos algebraicos que evalúan las series geométricas convergentes para obtener un tercer valor:
S = 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯, entonces
1 – S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + ⋯) = 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯ = S ,
Resultando en S = 1/2 . La misma conclusión resulta de calcular – S , restando el resultado de S y resolviendo 2 S = 1.
La fórmula para la suma al infinito de una serie geométrica es a / 1 – r , aunque la derivación para la suma solo es válida cuando | r | <1 (como con el módulo de r menor que uno, entonces los términos de la serie decaerán a cero a medida que n aumenta y la serie convergerá) la fórmula aún funciona para r = -1. En el caso de G = 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯ con a = 1 y r = −1, la suma al infinito y, por lo tanto, G converge a 1/2.
