Supongo que su pregunta significa “¿Cómo demuestra que ni una declaración ni su negación pueden probarse?”
Por lo general, se realiza mediante modelos. Suponga que tiene una teoría con los axiomas A y una proposición P, y desea mostrar que ni P ni Not P se deducen de A.
Encontrará dos modelos, uno en el que los axiomas A y la proposición No P son verdaderos, y otro en el que los axiomas A y la proposición P son verdaderos. De esos dos modelos puede concluir que no puede probar P de A , y no puede probar No P de A. Por lo tanto, P es independiente de A.
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Un ejemplo. La teoría de grupos tiene una operación binaria (generalmente denotada multiplicativamente) que satisface los siguientes tres axiomas.
- Asociatividad. Para todas las x, y y z, ( xy ) z = x ( yz ) .
- Unidad. Hay un elemento denotado 1 tal que para todo x , x 1 = 1 x = x.
- Inversiones. Para cada x , hay otro elemento y tal que xy = 1.
Esos son los axiomas A. Ahora para la proposición P tome la declaración
P. Para cada x, xx = 1.
Para mostrar que P no es demostrable a partir de A , considere el grupo (es decir, un modelo de la teoría de grupos) con tres elementos 1, a y b donde la multiplicación se define por aa = b, ab = 1, ba = 1, y bb = a (y 1 actúa como la unidad como en el axioma 2.)
Para mostrar que No P no es demostrable a partir de A , considere el grupo con dos elementos 1 y a donde la multiplicación se define por aa = 1.
Por lo tanto, la declaración P no es demostrable ni su negación es demostrable.