¿Por qué la distancia al cuadrado en la ecuación de fuerza electrostática, así como en la ecuación de campo eléctrico, pero no en la ecuación de potencial eléctrico?

Consideremos el campo electrostático de una carga puntual y dejemos que [matemática] P (x, y, z) [/ matemática] y [matemática] Q (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) [/ matemáticas] sean dos puntos arbitrarios en la vecindad de la carga puntual. Para simplificar, considere la carga puntual en el origen [matemática] (0,0,0). [/ Matemática] La figura muestra la configuración.

Tome [math] dl [/ math] como un elemento de ruta [math] L [/ math] de integración. [math] dl [/ math] forma un ángulo [math] \ phi [/ math] con el vector [math] r [/ math] de [math] q [/ math] a [math] dl [/ math]. Para el elemento de longitud infinitesimal de [math] dl [/ math] el incremento potencial es por definición

[matemáticas] dU = -E.dl [/ matemáticas]

y el campo eléctrico para la carga puntual se puede escribir como

[matemáticas] \ overline E = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} r ^ 3} \ overline r [/ math]

Haciendo uso de esto, podemos escribir más

[matemáticas] dU = – \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} r ^ 3} \ overline r.dl [/ matemáticas]

De la geometría de la figura se puede deducir fácilmente que

[matemáticas] \ overline r.dl = rdl \ cos \ phi = rdr [/ matemáticas]

Esto implica además que

[matemáticas] dU = – \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} r ^ 2} dr [/ matemáticas]

Esta expresión da el cambio incremental en el potencial a través del elemento de longitud infinitesimal [math] dl [/ math]. Ahora podemos integrarnos de inmediato

[matemáticas] \ int_ {G} ^ {P} dU = \ int_ {R_ {0}} ^ {R} – \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} r ^ 2} dr [/ math]

Lo que nos da

[matemática] U (P) -U (G) = \ triangle U = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} [\ frac {1} {R} – \ frac {1} {R_ { 0}}] [/ matemáticas]

A partir de esta ecuación podemos deducir que si vamos a definir la función potencial para una carga puntual de un solo punto, debería tener la forma

[matemática] U = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon_ {0} R} + [/ matemática] constante.

La opción más simple para la constante es hacer cero. Esto fue por un cargo de un solo punto. Puede probarlo aún más con cargos discretos o una distribución continua de cargos. El resultado será el mismo.

Por qué la distancia no es cuadrada, culpe a la integral.

El potencial electrostático se define como el trabajo realizado para llevar una unidad de carga en un campo eléctrico desde un punto en el espacio a otro punto. Ahora, suponiendo que haya aprendido sobre el concepto de trabajo / energía en la física newtoniana, sabe que la definición de trabajo / energía es que es igual a la fuerza x desplazamiento. Ahora, este concepto todavía se aplica a las fuerzas eléctricas, esto significa que la energía requerida para desplazar cierta carga de un punto a otro en un campo eléctrico es igual a la fuerza eléctrica x cierto desplazamiento, suponiendo que el campo eléctrico sea constante (de lo contrario, debe hacer la integración , idk si has aprendido esto). Como la fuerza eléctrica tiene r ^ 2 en el denominador, multiplicar esto por el desplazamiento (que es r) hará que el denominador sea r. Espero que responda tu pregunta.

El campo y la fuerza son los derivados del potencial. Si el potencial es proporcional a r ^ n, el campo y la fuerza son proporcionales a r ^ (n-1). Para el caso de Coulomb tiene n = -1.