¿Qué son las ecuaciones de Maxwell?

Las ecuaciones de Maxwell son un sistema de cuatro ecuaciones que describen la interacción entre campos eléctricos, campos magnéticos, cargas eléctricas y corrientes eléctricas. Los escribiré en su forma diferencial para que se vean geniales, pero también explicaré lo que nos dicen las ecuaciones.

(1) Ley de Gauss : [matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec {E} = \ rho / \ epsilon_ {0} [/ matemáticas]
En pocas palabras : esta ecuación nos dice que el flujo total del campo eléctrico que emerge de una región finita del espacio lleno de cargas eléctricas es proporcional a la carga neta en esa región. Cómo se distribuyen esas cargas dentro de la región no es importante en esta ecuación: podemos deducir la carga neta dentro de la región midiendo el flujo eléctrico total a través de la superficie o, por el contrario, podemos deducir el flujo eléctrico total a través de una superficie alrededor de una región de cargos si conocemos el cargo neto en la región.

(2) Ley de Gauss para campos magnéticos : [matemática] \ nabla \ cdot \ vec {B} = 0 [/ matemática]
En pocas palabras : esta ecuación nos dice que el flujo magnético total que emerge de cualquier región finita del espacio es cero. ¡Nada! Nada Esta ecuación a veces se conoce coloquialmente como la “Ecuación sin monopolos” o la “Ecuación sin cargas magnéticas” o algo igualmente incómodo para llamar una ecuación. Estos nombres se refieren al hecho de que, según nuestro conocimiento actual, en cualquier región cerrada del espacio, sin importar cuán grande o pequeño sea, el flujo magnético neto es cero, lo que equivale a la noción de que no existe una “carga magnética” fundamental que genera campos magnéticos (ya que hay cargas eléctricas que generan campos eléctricos, descritos en la ley de Gauss anterior). Si alguna vez se descubre que existen cargas magnéticas, esta ecuación se parecería más o menos a la ley de Gauss para campos eléctricos y básicamente describe lo mismo (el flujo neto a través de una superficie es proporcional a las cargas netas en el interior), solo para campos magnéticos .

(3) Ley de Faraday : [matemáticas] \ nabla \ times \ vec {E} = – \ frac {\ partial \ vec {B}} {\ partial t} [/ math]
En pocas palabras : ¡esta ecuación dice que las cargas eléctricas no tienen un reclamo exclusivo sobre la generación de campos eléctricos! Nos dice que los campos magnéticos que varían con el tiempo generan campos eléctricos “rotacionales” especiales, es decir, campos eléctricos libres de divergencia en forma de bucle que son imposibles de producir con las cargas eléctricas que se encuentran en la ley de Gauss (en referencia a la ley de Gauss arriba, sin divergencia significa que [math] \ nabla \ cdot \ vec {E} = 0 [/ math]).

(4) La Ley del amperaje de Maxwell : [matemáticas] \ nabla \ times \ vec {B} = \ mu_ {0} \ vec {J} + \ frac {1} {c ^ {2}} \ frac {\ parcial \ vec {E}} {\ parcial t} [/ matemáticas]
En pocas palabras : esta ecuación tiene dos términos en el lado derecho, por lo que esencialmente nos dice dos cosas: tanto las corrientes como los campos eléctricos que varían en el tiempo inducen campos magnéticos. Una corriente es generada por un flujo neto de carga eléctrica, por lo que esencialmente esta ecuación nos dice que, aunque las cargas eléctricas estacionarias no producen campos magnéticos, las cargas eléctricas en movimiento sí producen campos magnéticos. Mientras que el campo eléctrico puede tener un componente “rotacional” generado por un campo magnético variable en el tiempo y un componente “divergente” generado por cargas electrostáticas, un campo magnético solo tiene un componente “rotacional”, y ese componente puede ser generado por corrientes o campos eléctricos que varían con el tiempo.

Aquí hay una buena explicación para ello:

Para campo eléctrico:

Comprenda que la divergencia es el cálculo de si hay alguna fuente o sumidero. Y debido a que los campos eléctricos estarían presentes mientras haya cargas, la divergencia del campo eléctrico no será cero.

La divergencia busca partículas que emitan campos de esta manera:

y así es exactamente cómo funcionan las cargas (fuente y sumidero).

por

Curl está buscando campos como este:

Y debido a que esa no es la característica de una carga, no habrá contribución de los componentes de las cargas de un campo eléctrico.

Lo único que se parece a eso para el campo eléctrico es la Ley de Faraday dentro de un circuito. Donde debido a un cambio en el flujo, se inducirá un EMF en el circuito. El flujo de corriente en el circuito es circular, lo cual es perfecto para el rizo. Es por eso que la curvatura del campo eléctrico le dará la tasa de cambio del campo magnético: para indicar la Ley de Inducción de Faraday.

Los campos magnéticos son de la forma de:

No divergen como cargas, pero son rotacionales. Por lo tanto, la divergencia del campo magnético será cero:

Para el rizo del campo magnético:

Tiene dos componentes. por

Se debe a la regla del tornillo de la mano derecha, donde el campo magnético se forma cuando hay una conducción de corriente: (Tenga en cuenta que J es la densidad de corriente)

Y para:

El campo magnético puede ser inducido si hay una tasa de cambio de campo eléctrico.

Cosas como condensadores:

Donde la acumulación de campo eléctrico que causa una tasa de cambio de campo eléctrico induciría campos magnéticos.

Debido a que una tasa de cambio de campo magnético puede inducir un campo eléctrico, y una tasa de cambio de campo eléctrico puede inducir un campo magnético, en realidad puede obtener una onda de propagación conocida como leapfrog:

Las ecuaciones de Maxwell condujeron a la explicación de las ondas electromagnéticas que pasaron a abrir las puertas a campos como las telecomunicaciones y muchos más.

Y es por eso:

¡Espero que esto ayude!

Me gustaría responder a esta pregunta citando algunos extractos de mi libro (ver Comprender la física a través de la teoría cuántica de campos). Espero que esto no sea TMI:

A Michael Faraday se le ocurrió la idea de los campos después de observar la forma en que se alinean las limaduras de hierro cuando se colocan en una hoja de papel sobre un imán … Pero la idea de Faraday, como la de Newton, era solo conceptual, una suposición, por así decirlo. Fue James Maxwell quien le dio una base más firme … Para hacer esto, Maxwell, como Newton y Einstein, necesitaba un nuevo tipo de matemáticas. Los campos son propiedades del espacio y, por lo tanto, deben describirse mediante ecuaciones que son fundamentalmente diferentes de las que Newton usó para describir el movimiento de los objetos … Nuevamente citando a Einstein:

Existe una profunda diferencia entre la representación teórica de los cuerpos ponderables y la teoría de Maxwell de los procesos EM. Mientras que podemos considerar el estado de un cuerpo como determinado por las posiciones y velocidades de (para estar seguros) un número muy grande pero finito de átomos y electrones, ahora debemos usar funciones espaciales continuas para especificar el
estado electromagnético, de modo que un número finito de parámetros no puede ser
considerado como suficiente “. – A. Einstein

Maxwell, que era muy hábil en matemáticas, utilizó la nueva técnica [de ecuaciones diferenciales parciales] para reformular las leyes del electromagnetismo en un conjunto simple y elegante de ecuaciones que describan cómo la intensidad del campo en un punto influye en lo que le sucede al campo adyacente. puntos … Estas ecuaciones llevaron a Maxwell a predecir un fenómeno completamente nuevo, algo nunca antes imaginado: ondas EM que se propagan a través del espacio … De estas ecuaciones, derivadas de las leyes existentes de electricidad y magnetismo, surgió una constante que él llamó c , del Palabra latina celeritas , que significa “rapidez” … Es este número el que determina la velocidad de propagación de las ondas EM, y puede calcularse a partir de las constantes en las leyes eléctricas y magnéticas que se incorporaron a sus ecuaciones de campo. Cuando Maxwell hizo el cálculo, para su sorpresa y deleite, c resultó ser igual en error experimental a la velocidad conocida de la luz …

Esta velocidad es tan cercana a la de la luz que parece que tenemos fuertes razones para concluir que la luz misma (incluido el calor radiante y otras radiaciones, si las hay) es una perturbación electromagnética en forma de ondas propagadas a través del campo electromagnético de acuerdo con las leyes electromagnéticas. – JC Maxwell

Y así, de un solo golpe, Maxwell unificó las leyes de la electricidad y el magnetismo, creó una base matemática para los campos, predijo la radiación EM y explicó la luz, que había sido un misterio sin resolver durante cientos de años.

De Coulomb, Ørsted, Gauss, Biot, Savart, Ampère, Faraday, y posiblemente otros, descubrieron leyes separadas de electricidad, campos eléctricos y magnetismo en el siglo XIX. James Clerk Maxwell, un físico escocés, los integró en un conjunto de 20 ecuaciones que publicó en 1861, mientras que los estadounidenses se veían derrotados estúpidamente en una Guerra Civil.

En 1865, Maxwell los consolidó en 8 ecuaciones usando notación vectorial y reconoció la relación con la velocidad de la luz y la propagación de ondas electromagnéticas. Esta publicación fue una teoría dinámica del campo electromagnético , y las 8 ecuaciones se pueden encontrar aquí.

Heaviside, Gibbs y Hertz utilizaron además la notación vectorial para condensarlas en un conjunto de 4 ecuaciones en 1884, que son esencialmente el conjunto moderno. Heaviside realizó un cambio sutil, expresando la fuerza como la derivada del momento del momento (frente a la masa por la aceleración), lo que facilitó la adaptación de las ecuaciones a la relatividad y la mecánica cuántica.

Es notable que estas ecuaciones ya fueran completamente relativistas, aunque eso no se apreciaba en ese momento, y Maxwell reflexionó sobre si podría haber algún equivalente de pequeños osciladores en cada punto del espacio, formando una red, sobre la cual se propagarían las ondas (vórtice molecular modelo). Esto se convirtió en la base del Éter, dispensado por la Relatividad Especial en 1905. Aunque en la teoría cuántica el vacío es un medio energético para la generación de partículas virtuales que hacen el trabajo del campo, y en la Relatividad General, la luz se ralentiza y, por lo tanto, en cierto sentido se propaga en relación con los campos gravitacionales (por ejemplo, órbitas de fotones).

Las ecuaciones son muy difíciles de resolver, excepto en situaciones simétricas simples. Anteriormente, se realizaban muchas pruebas de campo y experimentos para diseñar cosas como antenas. Hoy en día esto se puede hacer en computadoras con electromagnetismo computacional. En cualquier caso, los modelos del entorno previsto y las señales previstas deben construirse laboriosamente, y las deficiencias en cualquiera de ellos pueden invalidar el análisis.

Las ecuaciones de Maxwell (ME) describen esencialmente de una manera tremendamente simple cómo se comporta globalmente el campo electromagnético en un medio general. Como voy a mostrar, el campo eléctrico y el campo magnético no son independientes y ese es el imperdonable descubrimiento de Maxwell.

Incluso si no se expresaron de una vez (uno se debe a Gauss, uno a Faraday, uno a Maxwell …) representan cómo se comporta el campo electromagnético. El gran descubrimiento de Maxwell fue que el campo eléctrico y el campo magnético son las dos caras de la misma moneda (en realidad, más tarde se demostró que en el marco de la relatividad una es especular a la otra).

Ley de Gauss

Esencialmente está indicando que la cantidad neta del flujo eléctrico que deja un volumen de muestra es proporcional a la carga dentro del volumen.

[math] \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = \ frac {\ rho} {\ varepsilon_ {0}}. [/ math]

Ley de Gauss para el magentismo

Esencialmente está afirmando la imposibilidad de crear un monopolo magnético; El flujo magnético total a través de una superficie cerrada es cero.

[matemáticas] \ nabla \ cdot B = 0. [/ matemáticas]

Ecuación de Maxwell-Faraday

El voltaje inducido en un circuito cerrado es proporcional a la velocidad de cambio del flujo magnético que encierra el circuito, es decir, cada vez que cambia el campo magnético se crea un campo eléctrico.

[math] \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {\ partial B} {\ partial t}. [/ math]

¡Esencialmente esta ley es una consecuencia de la ley de conservación de energía total ! Cada vez que hay una variación del campo magnético (también conocido como una variación de energía en el medio), inmediatamente se genera una corriente para mantener constante el campo magnético (siguiendo la regla de la notación a la derecha). Es por eso que esta ley también se conoce como la ley de inducción de Faraday.

Ley circuital de Ampère-Maxwell

El campo magnético inducido alrededor de un circuito cerrado es proporcional a la corriente eléctrica más la corriente de desplazamiento (tasa de cambio del campo eléctrico) que encierra el circuito.

[math] \ nabla \ times B = \ mu_ {0} \ left (J + \ varepsilon_ {0} \ frac {\ partial E} {\ partial t} \ right). [/ math]

La expresión para ME puede condensarse introduciendo el 4-vector [math] A [/ math] de la siguiente manera:

Esta última formulación es especialmente adecuada para tener en cuenta las transformaciones de Lorentz y las propiedades de invariancia de calibre.

En particular, combinando las cuatro ecuaciones tenemos la expresión analítica de las ondas electromagnéticas que se expanden en el vacío o en un medio particular.

A partir de las ecuaciones de Maxwell también podemos determinar cuál es la velocidad de propagación de una onda EM, es decir, [matemática] v = \ sqrt {\ frac {1} {\ mu_0 \ epsilon_0}} = c [/ matemática], velocidad de Luz para amigos.

En primer lugar, son las ecuaciones de Maxwell: son 4 ecuaciones, no 1. En segundo lugar, Maxwell no encontró ninguna de ellas, solo corrigió una. Sin embargo, esta corrección lo llevó a deducir la existencia de ondas electromagnéticas y calcular su velocidad de propagación. Esto resultó ser lo mismo que la velocidad de la luz, la conclusión obvia es que la luz es una onda electromagnética. Al mismo tiempo, demostró que la velocidad de la luz era constante, aunque la importancia de esto se perdió en él en ese momento, ya que supuso que debe haber algún marco de referencia inercial para el que la velocidad sea válida, a pesar de que las matemáticas no lo requieren . Pasaron alrededor de 30 años hasta que Einstein postuló que la velocidad de la luz era constante en todos los marcos de referencia y comenzó el campo de la relatividad especial.

De todos modos, las 4 ecuaciones fueron:
1) Ley de Gauss: [matemática] \ iint E \ cdot dS = q_ {adjunto} / \ epsilon_0 [/ matemático] (el flujo eléctrico sobre una superficie cerrada es proporcional a la carga adjunta).
2) [matemáticas] \ iint B \ cdot dS = 0 [/ matemáticas] (el flujo magnético sobre una superficie cerrada siempre es cero, equivalente a la ausencia de monopolos magnéticos)
3) Ley de Faraday: [matemáticas] \ int E \ cdot dl = – \ frac {d} {dt} \ iint B \ cdot dS [/ matemáticas] – la integral de línea del campo eléctrico alrededor de un circuito cerrado (es decir, el inducido voltaje en ese bucle) es la tasa de cambio negativa del flujo magnético a través de ese bucle. Esto implica la ley de voltaje de Kirchoff cuando los campos magnéticos no están presentes.
4) [math] \ int B \ cdot dl = \ mu_0 I_ {adjunto} + \ mu_0 \ epsilon_0 \ frac {d} {dt} \ iint E \ cdot dA [/ math] – la integral del campo magnético alrededor de un el circuito cerrado es proporcional a la corriente encerrada más un término proporcional a la tasa de cambio de tiempo del flujo eléctrico a través de ese circuito. Este último término fue la gran contribución de Maxwell.

Ok, lo admito, esas ecuaciones pueden ser bastante confusas si no sabes las matemáticas. En general, el flujo es la cantidad de campo que fluye a través de una superficie, y la integral de línea es la suma de la cantidad del campo en cada punto del bucle que apunta en la misma dirección que una ruta alrededor del bucle (si elige el ruta de dirección incorrecta, su respuesta será negativa, pero está bien siempre que use la regla de la mano derecha para calcular el flujo).

En termodinámica, las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de ecuaciones derivadas de la aplicación de la relación de reciprocidad de Euler con las funciones de características termodinámicas. Las relaciones de Maxwell, derivadas por primera vez por James Clerk Maxell, son las siguientes expresiones entre cociente diferencial parcial:

Las funciones características son: U (energía interna), A (energía libre de Helmotz), H (entalpía) y G (energía libre de Gibbs). Los parámetros termodinámicos son: T (temperatura), S (entropía), P (presión) y V (volumen).

Como ejemplo de una derivación, considere

La relación de reciprocidad de Euler dice:

que de hecho da

Fuente: Wikipedia

Esas son ecuaciones, que sirven de base para todos los demás temas de las ciencias. Incluso, la famosa ley de OHM tiene su origen en las ecuaciones de maxwell. Las relaciones entre el campo eléctrico y magnético, su relación estática y de espacio libre, todo se tratará con las relaciones básicas de Maxwell. No puedo mencionar, esas ecuaciones aquí, solo se refieren a “Elementos de Electromagnética” de Sadiku o “Ingeniería Electromagnética” de William Hayt.

Las ecuaciones de Maxwell representan una de las formas más elegantes y concisas para establecer los fundamentos de la electricidad y el magnetismo. De ellos se puede desarrollar la mayoría de las relaciones de trabajo en el campo. Debido a su declaración concisa, incorporan un alto nivel de sofisticación matemática y, por lo tanto, generalmente no se introducen en un tratamiento introductorio del tema, excepto tal vez como relaciones sumarias. Estas ecuaciones básicas de electricidad y magnetismo pueden usarse como punto de partida para avanzar cursos, pero generalmente se encuentran por primera vez como ecuaciones unificadoras después del estudio de los fenómenos eléctricos y magnéticos.

Maxwell utilizó la analogía de la mecánica de fluidos para mostrar que los campos eléctricos y magnéticos obedecen ciertas condiciones en cada punto. En el proceso, encontró la “corriente de desplazamiento” (“tasa de cambio de polarización” moderna), necesaria para que la ley de amperios esté de acuerdo con la ley de conservación.

Estas veinte ecuaciones se redujeron a doce, y luego variaron a ocho y cuatro y luego a variaciones de dos, la importancia de estas como ‘condiciones puntuales’ lleva a las personas a sospechar que de alguna manera son fundamentales.

Los cuatro en su forma básica, son la ley de carga y flujo de Gauss, la ley de corriente de amperios, modificada por la corriente de desplazamiento de Maxwell, y en el otro extremo, la ley de potencial eléctrico y flujo magnético de Faraday, y una cuarta que surge del La divergencia de un rizo es cero.