Esta es una pregunta sobre la teoría de la representación. Tienes que pensar en un grupo como un conjunto de simetrías. Estas simetrías pueden ser transportadas por diferentes tipos de objetos. Por ejemplo, un triángulo y el amoníaco tienen el elemento de simetría correspondiente a la rotación de 1/3 de 2 pi: 
https://en.wikipedia.org/wiki/Fi… En física de estado sólido, las simetrías del grupo de puntos están relacionadas con un cubo y puedes encontrar las mismas simetrías en una caja de cartón.
Entonces, ¿qué tiene esto que ver con las matrices en la pregunta original? El amoníaco y el triángulo tienen una representación de la simetría: rotación de 1/3. En ambas representaciones, la rotación de 1/3 no cambia el objeto. Las matrices que se multiplican correctamente también deben considerarse como portadoras de una representación.
Si tomo el triángulo y lo giro 1/3 y luego lo giro -1/3, entonces debería obtener lo mismo que si no hiciera nada. Si tengo matrices que también llevan la representación, entonces la multiplicación de la matriz 1/3 hacia adelante y la matriz 1/3 hacia atrás debería ser igual a la identidad.
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La representación trivial siempre existe donde las matrices son solo la identidad. En este caso, la acción combinada de cualquiera de las dos operaciones de simetría se cumple trivialmente. En esencia, esta representación de todos los grupos es un punto único que no cambia bajo ninguna operación de simetría (esto existe para todos los grupos de puntos, es decir, sin traslaciones).
Espero que esto aclare la idea de representaciones de un grupo.
