La idea
Trataré de mantener esto simple. Una combinación de exponentes es una solución para una gran clase de ecuaciones diferenciales básicas (para las inteligentes, incluyo exponente complejo que se simplifica a funciones trigonométricas), pero no me estoy metiendo en esto ya que lo mantengo simple como se dijo ) La clase a la que me refiero es la que consiste en ecuaciones de este tipo:
[matemáticas] y ^ {\ left (n \ right)} + a _ {_ {1}} y ^ {\ left (n-1 \ right)} + \ dots + a_ {n} y = g \ left (x \ right) [/ math]
donde [math] y ^ {\ left (i \ right)} [/ math] es la [math] i [/ math] -th derivada de [math] y [/ math] por [math] x [/ math] , y [math] g \ left (x \ right) [/ math] es alguna función de [math] x [/ math]. Hay algunas restricciones en los atributos de las funciones, pero supongamos que se comportan bien como esperaría que se modelara un proceso natural.
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Tomemos un caso bastante simple de esto en la naturaleza. Inspirado por ti, voy a elegir uno del electromagnetismo.
Ejemplo en electromagnetismo
Observaremos un circuito eléctrico que consiste en un condensador cargado [math] V_ {0} [/ math] conectado por un conductor con una resistencia [math] R [/ math]. No estamos interesados en cómo el condensador obtuvo su carga. Solo en lo que sucede una vez que conectamos los dos lados (en [math] t = 0 [/ math]). Marquemos [math] Q [/ math] como la carga en el lado positivo (y así [math] -Q [/ math] en el lado negativo), [math] \ dot {Q} [/ math] como la derivada de [matemática] Q [/ matemática] por [matemática] t [/ matemática] (tiempo). También deje que [math] V [/ math] sea la diferencia de potencial (tanto entre las placas como a través de nuestra resistencia; son las mismas). Si denotamos [matemáticas] I [/ matemáticas] como la corriente que fluye desde el lado positivo, obtenemos estas relaciones:
[matemáticas] \ begin {array} {ccc}
Q = CV & I = \ frac {V} {R} & – \ dot {Q} = I \ end {array} [/ math]
(El tercero es un poco complicado. Observe que el flujo aumenta a medida que disminuye la carga en la placa positiva). De estos podemos deducir la siguiente ecuación diferencial:
[matemáticas] \ dot {Q} + \ frac {1} {RC} Q = 0 [/ matemáticas]
¡Tenemos una ecuación que se ajusta a la factura! La solución a esto es una combinación de exponentes. Específicamente
[matemáticas] Q = CV_ {0} e ^ {- \ frac {t} {RC}} [/ matemáticas]
y con bastante facilidad
[matemática] I = – \ dot {Q} = \ frac {V_ {0}} {R} e ^ {- \ frac {t} {RC}} [/ math]
Entonces, tanto la carga como la corriente decaen exponencialmente.
Conclusión
Este fue solo un pequeño ejemplo. En general, cualquier función cuyos derivados dependen de sí misma coincide. Solo piense en cualquier proceso en la naturaleza que su tasa de cambio en algún momento en el tiempo esté linealmente relacionada con la cantidad en un momento dado (descomposición química, prosperidad animal, etc.)
Vaya
Parece que he entendido mal tu pregunta y respondo algo diferente. En mi defensa fue redactado de manera extraña. Dejaré mi respuesta, tal vez aún interesaría a alguien.
