¿Cómo llegó a ser el orden de las operaciones?

En realidad no es una cosa “antigua”, ni es un descubrimiento.

La notación matemática tal como la conocemos es algo bastante reciente: el signo igual no se inventó hasta 1557; Nota algebraica, como sabemos, no fue inventada durante casi un siglo después de eso. Las anotaciones para la agrupación todavía evolucionaban a principios del siglo XX.

Entonces no es una “realización”; No hay nada fundamental al respecto. Durante muchos siglos, las matemáticas se hicieron conversacionalmente, como un flujo de texto. Esto es lo que parecía cuando Newton estaba elaborando las fórmulas para los dites:

Deje que el fluido se distinga en orbes concéntricos de igual espesor, por las innumerables superficies esféricas BFK, CGL; y conciben la fuerza de la gravedad para actuar solo en las superficies superiores de cada orbe, y que las acciones sean iguales en las partes iguales de todas las superficies. Por lo tanto, las superficies superiores AE son presionadas por la fuerza única de su propia gravedad, por la cual todas las partes del orbe superior, y las segundas superficies BFK, (según la Proposición 19.) de acuerdo con su medida, serán presionadas igualmente. La segunda superficie BFK es presionada igualmente por la fuerza de su propia gravedad, que sumada a la fuerza anterior, hace que la presión se duplique.

Los matemáticos descubrieron que para muchas áreas importantes, era más conveniente trabajar con polinomios. Estos términos grupales de potencias similares junto con coeficientes; tratar los coeficientes como vinculados a las variables posteriores fue una notación brevemente conveniente.

Incluso hoy, la división presenta un problema. El símbolo de división rara vez se usa, y se desaconseja activamente, a pesar de lo que le enseñan en la escuela primaria. La división recibe una notación tipográfica diferente; la línea deja muy claro cómo se agrupan las cosas. Las radixes se agrupan de manera similar bajo una línea.

Si bien Joshua Engel y Qiaochu Yuan son técnicamente correctos de que no hay nada intrínsecamente matemático sobre el orden de las operaciones, en realidad no estoy de acuerdo en que no haya buenas razones para que el operador tenga prioridad sobre la forma en que lo hacemos.

Una de las cosas buenas de PEMDAS es que es más conciso en cuanto a notación con respecto a la necesidad de paréntesis. La razón de esto es que la distributividad de los exponentes sobre la multiplicación y la multiplicación sobre la suma se expresa mucho más naturalmente con el ordenamiento PEMDAS, y por lo tanto los paréntesis pueden ser implícitos. Los paréntesis implícitos también hacen que el análisis sea mucho menos doloroso para los ojos. El paréntesis implícito con distributividad “natural” también es más conveniente cuando se quiere sustituir una expresión simple por otra más complicada para hacer varios trucos de evaluación de límites (y similares).

Otro lío que surge son las multiplicaciones implícitas por 1. Cuando se trata de las implicaciones entre paréntesis para hacer varios trucos matemáticos y realizar operaciones asociativas, es menos incómodo notar que tener un pedido PEMDAS.

En resumen, es histórico, pero es la forma en que es para la notación-concisión.

El orden de las operaciones no tiene nada que ver con las matemáticas. Es una convención de notación arbitraria que nos permite evitar el uso de paréntesis.

Necesitábamos una forma de hacer que nuestra notación tuviera sentido; es una cosa de notación, no una cosa intrínseca.

Editar:
Los antiguos griegos interpretaban la multiplicación geométricamente. En general, las cosas que se agregaban eran longitudes y los productos eran áreas o volúmenes. Se dieron cuenta de que primero debes agregar longitudes antes de multiplicarlas para que las áreas sean correctas.