Reclamación:
[matemáticas] \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}} = 2 \, \ delta (\ varepsilon) [/ math]
Donde [math] \ delta (\ varepsilon) [/ math] es la función Delta de Dirac.
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Prueba:
Creo que es mejor mirar lo siguiente
[matemáticas] f (\ varepsilon) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2 }) ^ {3/2}} [/ matemáticas]
Sabemos que la función Delta de Dirac tiene muchas representaciones. Debemos probar para ver que esta función cumple dos condiciones.
i) [matemáticas] \ delta [/ matemáticas] [matemáticas] (\ varepsilon) = 0 [/ matemáticas]
para [matemáticas] \ varepsilon \ neq 0 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ delta (0) = \ infty [/ matemáticas]
para [matemáticas] \ varepsilon = 0 [/ matemáticas]
ii) [matemática] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, [/ math] [math] \ delta (\ varepsilon) = 1 [/ math]
Veamos que esta función [matemática] f (\ varepsilon) [/ matemática] cumple con dichos criterios para calificar como una representación válida de la función Delta de Dirac
[matemáticas] f (\ varepsilon) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2 }) ^ {3/2}} [/ matemáticas]
i) Claramente, para [math] \ varepsilon \ neq 0 [/ math]
[matemáticas] \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {({\ varepsilon} ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ { 3/2}} = \ frac {1} {2} \ frac {0 ^ 2} {(\ varepsilon ^ 2 + 0 ^ 2) ^ {3/2}} = \ frac {1} {2} \ frac {0} {\ varepsilon ^ {3}} = 0 [/ matemáticas]
Ahora supongamos que [math] \ varepsilon \ rightarrow 0 [/ math]
[matemáticas] f (0) = \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(0 ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} = \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ Delta ^ {2}) ^ {3/2} } = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {\ Delta ^ {3}} = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac { 1} {2} \ frac {1} {\ Delta} [/ math]
[matemáticas] \ frac {1} {2} \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {1} {\ Delta} = \ infty [/ math]
ii) [matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, [/ matemáticas] [matemáticas] f (\ varepsilon) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2 }} = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} [/ math]
Solo trabajemos con la integral
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} = \ frac {\ Delta ^ {2}} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, \ frac {1} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} [/ math]
Utilizando un cambio trigonométrico de variable.
Dejar
[matemática] \ varepsilon = \ Delta \, tan \, \ theta [/ math]
[matemática] d \ varepsilon = \ Delta \, sec ^ {2} \, \ theta d \ theta [/ math]
[matemáticas] \ frac {\ Delta ^ {2}} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, \ frac {1} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} = \ frac {\ Delta ^ {2}} {2} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} \ Delta \, sec ^ {2} \, \ theta d \ theta \, \ frac {1} {((\ Delta \, tan \, \ theta) ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} [/ math]
[matemáticas] = \ frac {\ Delta ^ {2}} {2} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} \ Delta \, sec ^ {2} \, \ theta d \ theta \, \ frac {1 } {(\ Delta ^ {2} \, tan ^ {2} \, \ theta + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} = \ frac {\ Delta ^ {3}} {2 \ Delta ^ {3}} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} sec ^ {2} \, \ theta d \ theta \, \ frac {1} {(tan ^ {2} \, \ theta + 1) ^ {3 / 2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {2} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} sec ^ {2} \, \ theta d \ theta \, \ frac {1} {(sec ^ 2 \, \ theta ) ^ {3/2}} = \ frac {1} {2} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} d \ theta \, \ frac {1} {(sec \, \ theta)} = \ frac {1} {2} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} d \ theta \, cos \, \ theta [/ math]
[matemáticas] \ frac {1} {2} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} d \ theta \, cos \, \ theta = \ frac {1} {2} sin \, \ theta \, \ Big {|} _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} [/ math]
Ahora sustituimos nuestras variables originales
[matemática] \ varepsilon = \ Delta \, tan \, \ theta [/ math]
Claramente,
[matemáticas] tan \, \ theta = \ frac {\ varepsilon} {\ Delta} [/ matemáticas]
Esto significa que para un triángulo rectángulo
[matemáticas] opuesto = \ varepsilon [/ matemáticas]
[matemática] adyacente = \ Delta [/ matemática]
[matemáticas] hipotenusa = \ sqrt {\ varepsilon ^ 2 + \ Delta ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] sin \, \ theta = \ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {\ varepsilon ^ 2 + \ Delta ^ 2}} [/ math]
[matemáticas] \ frac {1} {2} sin \ theta \, \ Big {|} _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} = \ frac {1} {2} \ frac {\ varepsilon} {\ sqrt { \ varepsilon ^ 2 + \ Delta ^ 2}} \, \ Big {|} _ {- \ infty} ^ {\ infty} [/ math]
La función que se estaba integrando era uniforme, por lo que podemos multiplicarla por [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y tomar los límites de integración para pasar de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] \ infty [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 \ frac {1} {2} \ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {\ varepsilon ^ 2 + \ Delta ^ 2}} \, \ Big {|} _ {0} ^ {\ infty} = \ lim _ {\ varepsilon \ to \ infty} \ frac {\ varepsilon} {\ varepsilon \ sqrt {1 ^ 2 + {\ frac {\ Delta} {\ varepsilon}} ^ 2}} – \ frac {0} {\ sqrt {0 ^ 2 + \ Delta ^ 2}} = \ lim _ {\ varepsilon \ to \ infty} \ frac {1} {\ sqrt {1 ^ 2 + (\ frac {\ Delta} {\ varepsilon}) ^ 2 }} = \ frac {1} {\ sqrt {1 ^ 2 + (0) ^ 2}} = 1 [/ matemáticas]
Así,
[math] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, [/ math] [math] f (\ varepsilon) = 1 [/ math]
Como hemos demostrado que las condiciones i) y ii) son válidas para
[matemáticas] f (\ varepsilon) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2 }) ^ {3/2}} [/ matemáticas]
Por lo tanto, es válido llamar a esta función la función Delta de Dirac.
[matemáticas] f (\ varepsilon) \ equiv \ delta (\ varepsilon) [/ matemáticas]
Ahora usamos álgebra para mostrar que la función dada es dos veces la función Delta de Dirac.
[matemáticas] \ delta (\ varepsilon) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ { 2}) ^ {3/2}} = \ frac {1} {2} \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ delta (\ varepsilon) = \ frac {1} {2} \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ { 2}) ^ {3/2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 \ delta (\ varepsilon) = 2 \ frac {1} {2} \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 \ delta (\ varepsilon) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3 / 2}} [/ matemáticas]
Por la propiedad reflexiva de la igualdad.
[matemáticas] \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}} = 2 \, \ delta (\ varepsilon) [/ math]
QED