¿Cuál es la expresión para el límite [math] {\ rm lim} _ {\ Delta \ rightarrow 0} \, \ Delta ^ 2 / (\ varepsilon ^ 2 + \ Delta ^ 2) ^ {3/2} [/ math ] en términos de una ‘función’ conocida de [math] \ varepsilon [/ math]?

Reclamación:

[matemáticas] \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}} = 2 \, \ delta (\ varepsilon) [/ math]

Donde [math] \ delta (\ varepsilon) [/ math] es la función Delta de Dirac.

Prueba:

Creo que es mejor mirar lo siguiente

[matemáticas] f (\ varepsilon) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2 }) ^ {3/2}} [/ matemáticas]

Sabemos que la función Delta de Dirac tiene muchas representaciones. Debemos probar para ver que esta función cumple dos condiciones.

i) [matemáticas] \ delta [/ matemáticas] [matemáticas] (\ varepsilon) = 0 [/ matemáticas]

para [matemáticas] \ varepsilon \ neq 0 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ delta (0) = \ infty [/ matemáticas]

para [matemáticas] \ varepsilon = 0 [/ matemáticas]

ii) [matemática] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, [/ math] [math] \ delta (\ varepsilon) = 1 [/ math]

Veamos que esta función [matemática] f (\ varepsilon) [/ matemática] cumple con dichos criterios para calificar como una representación válida de la función Delta de Dirac

[matemáticas] f (\ varepsilon) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2 }) ^ {3/2}} [/ matemáticas]

i) Claramente, para [math] \ varepsilon \ neq 0 [/ math]

[matemáticas] \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {({\ varepsilon} ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ { 3/2}} = \ frac {1} {2} \ frac {0 ^ 2} {(\ varepsilon ^ 2 + 0 ^ 2) ^ {3/2}} = \ frac {1} {2} \ frac {0} {\ varepsilon ^ {3}} = 0 [/ matemáticas]

Ahora supongamos que [math] \ varepsilon \ rightarrow 0 [/ math]

[matemáticas] f (0) = \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(0 ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} = \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ Delta ^ {2}) ^ {3/2} } = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {\ Delta ^ {3}} = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac { 1} {2} \ frac {1} {\ Delta} [/ math]

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {1} {\ Delta} = \ infty [/ math]

ii) [matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, [/ matemáticas] [matemáticas] f (\ varepsilon) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2 }} = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} [/ math]

Solo trabajemos con la integral

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} = \ frac {\ Delta ^ {2}} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, \ frac {1} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} [/ math]

Utilizando un cambio trigonométrico de variable.

Dejar

[matemática] \ varepsilon = \ Delta \, tan \, \ theta [/ math]

[matemática] d \ varepsilon = \ Delta \, sec ^ {2} \, \ theta d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ Delta ^ {2}} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, \ frac {1} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} = \ frac {\ Delta ^ {2}} {2} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} \ Delta \, sec ^ {2} \, \ theta d \ theta \, \ frac {1} {((\ Delta \, tan \, \ theta) ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ Delta ^ {2}} {2} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} \ Delta \, sec ^ {2} \, \ theta d \ theta \, \ frac {1 } {(\ Delta ^ {2} \, tan ^ {2} \, \ theta + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} = \ frac {\ Delta ^ {3}} {2 \ Delta ^ {3}} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} sec ^ {2} \, \ theta d \ theta \, \ frac {1} {(tan ^ {2} \, \ theta + 1) ^ {3 / 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} sec ^ {2} \, \ theta d \ theta \, \ frac {1} {(sec ^ 2 \, \ theta ) ^ {3/2}} = \ frac {1} {2} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} d \ theta \, \ frac {1} {(sec \, \ theta)} = \ frac {1} {2} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} d \ theta \, cos \, \ theta [/ math]

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ int _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} d \ theta \, cos \, \ theta = \ frac {1} {2} sin \, \ theta \, \ Big {|} _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} [/ math]

Ahora sustituimos nuestras variables originales

[matemática] \ varepsilon = \ Delta \, tan \, \ theta [/ math]

Claramente,

[matemáticas] tan \, \ theta = \ frac {\ varepsilon} {\ Delta} [/ matemáticas]

Esto significa que para un triángulo rectángulo

[matemáticas] opuesto = \ varepsilon [/ matemáticas]

[matemática] adyacente = \ Delta [/ matemática]

[matemáticas] hipotenusa = \ sqrt {\ varepsilon ^ 2 + \ Delta ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] sin \, \ theta = \ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {\ varepsilon ^ 2 + \ Delta ^ 2}} [/ math]

[matemáticas] \ frac {1} {2} sin \ theta \, \ Big {|} _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} = \ frac {1} {2} \ frac {\ varepsilon} {\ sqrt { \ varepsilon ^ 2 + \ Delta ^ 2}} \, \ Big {|} _ {- \ infty} ^ {\ infty} [/ math]

La función que se estaba integrando era uniforme, por lo que podemos multiplicarla por [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y tomar los límites de integración para pasar de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] \ infty [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ frac {1} {2} \ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {\ varepsilon ^ 2 + \ Delta ^ 2}} \, \ Big {|} _ {0} ^ {\ infty} = \ lim _ {\ varepsilon \ to \ infty} \ frac {\ varepsilon} {\ varepsilon \ sqrt {1 ^ 2 + {\ frac {\ Delta} {\ varepsilon}} ^ 2}} – \ frac {0} {\ sqrt {0 ^ 2 + \ Delta ^ 2}} = \ lim _ {\ varepsilon \ to \ infty} \ frac {1} {\ sqrt {1 ^ 2 + (\ frac {\ Delta} {\ varepsilon}) ^ 2 }} = \ frac {1} {\ sqrt {1 ^ 2 + (0) ^ 2}} = 1 [/ matemáticas]

Así,

[math] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ varepsilon \, [/ math] [math] f (\ varepsilon) = 1 [/ math]

Como hemos demostrado que las condiciones i) y ii) son válidas para

[matemáticas] f (\ varepsilon) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2 }) ^ {3/2}} [/ matemáticas]

Por lo tanto, es válido llamar a esta función la función Delta de Dirac.

[matemáticas] f (\ varepsilon) \ equiv \ delta (\ varepsilon) [/ matemáticas]

Ahora usamos álgebra para mostrar que la función dada es dos veces la función Delta de Dirac.

[matemáticas] \ delta (\ varepsilon) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {1} {2} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ { 2}) ^ {3/2}} = \ frac {1} {2} \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ delta (\ varepsilon) = \ frac {1} {2} \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ { 2}) ^ {3/2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ delta (\ varepsilon) = 2 \ frac {1} {2} \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3/2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ delta (\ varepsilon) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {3 / 2}} [/ matemáticas]

Por la propiedad reflexiva de la igualdad.

[matemáticas] \ lim _ {\ Delta \ a 0} \ frac {\ Delta ^ {2}} {(\ varepsilon ^ {2} + \ Delta ^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}} = 2 \, \ delta (\ varepsilon) [/ math]

QED

Bueno, este límite se evalúa a 0 para todos [math] \ varepsilon [/ math] excepto [math] \ varepsilon = 0 [/ math], donde el límite va al infinito. Por lo tanto, si está solicitando esta expresión como una función en [math] \ varepsilon [/ math], entonces es la función constante “cero” la que está indefinida en [math] \ varepsilon = 0 [/ math] (o igual a infinito allí, si desea definir esto como una función de valor real “extendida”).

Si la pregunta es: ¿cuál es la aproximación funcional cuando delta va a cero, entonces aquí está el argumento. Para [math] \ Delta lo suficientemente pequeño, \ Delta << \ epsilon [/ math] para que el denominador se reduzca a [math] \ epsilon ^ 2 [/ math]. La función se acerca así a su límite como:

[math] lim _ {\ Delta \ rightarrow 0} (\ Delta ^ 2 / \ epsilon ^ 2) ^ {3/2} [/ math]

Que es lo mismo que

[matemáticas] lim _ {\ Delta \ rightarrow 0} \ Delta ^ 3 / \ epsilon ^ 3 [/ matemáticas]

Entonces el límite, 0, se alcanza como el cubo del delta.

Si epsilon es fijo, entonces el límite cuando Delta se acerca a cero es cero. No hay una “función” involucrada.